直線方程：斜率與三式
中等斜率 m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)、點斜式、一般式——一條直線由兩個資料完全確定。
- 斜率 m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)——升除以行。
- 點斜式 y-y₁=m(x-x₁) 是最常用工具。
- 一般式快速讀法：斜率=-A/B、y 截距=-C/B。
文體小知識：直線方程——對應 DSE 核心單元「直線方程」：斜率、三種方程式，坐標幾何的骨幹。
§課文原文 Passage
1直線由兩個資料完全確定：斜率與一點。斜率 m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，量度直線的傾斜程度——m>0 向上斜、m<0 向下斜、m=0 水平、m 不存在（分母為零）則是垂直線。舉個例子：A(1,2) 與 B(3,8) 的斜率 m=(8-2)/(3-1)=3。
2三種方程式按已知條件選用：①點斜式——已知一點 (x₁,y₁) 與斜率 m：y-y₁=m(x-x₁)；②兩點式——已知兩點，先求斜率再用點斜式；③一般式 Ax+By+C=0——方便判斷：斜率=-A/B，y 軸截距=-C/B。三式可以互相轉換，答題時寫最方便的一種，最後可化為一般式。
3應用與幾何意義：兩線平行則斜率相等（m₁=m₂）；兩線垂直則斜率相乘等於 -1（m₁×m₂=-1）——這是求垂直線的鑰匙。截距也有幾何意義：x 軸截距令 y=0 求得、y 軸截距令 x=0 求得。求直線與另一曲線的交點，則解聯立方程。
1重點摘要 Summary
斜率 m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)、點斜式、一般式——一條直線由兩個資料完全確定。
2生字卡 Vocabulary
直線的傾斜程度：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
y-y₁=m(x-x₁)——已知一點與斜率。
Ax+By+C=0——斜率=-A/B，y 截距=-C/B。
斜率相等：m₁=m₂，永不相交。
斜率相乘等於 -1：m₁×m₂=-1。
直線與 y 軸的交點——令 x=0 求得。
兩條直線的交點由聯立方程求得。
用坐標與代數方法研究幾何圖形。
3逐步講解 Steps
- 步驟 1：斜率公式與四種傾斜類型斜率 m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)，分子是鉛直方向的「升」、分母是水平方向的「行」。例如 A(1, 2) 與 B(3, 8)：m = (8-2)/(3-1) = 3，即每向右 1 單位就上升 3 單位。按符號分類：m > 0 向右上斜、m < 0 向右下斜、m = 0 是水平線，分母為 0 時是鉛直線、斜率不存在。易錯位：分子與分母選點的次序必須一致，不一致會令答案多了一個負號。
- 步驟 2：點斜式——已知一點與斜率即寫方程已知直線過點 (x₁, y₁) 而斜率是 m，方程是 y - y₁ = m(x - x₁)，原理是線上任何一點與定點連線的斜率都等於 m。例如過 (2, 1) 而斜率 3：y - 1 = 3(x - 2)，化簡得 y = 3x - 5。交卷前代入 x = 2 檢查 y 是否等於 1，自查一步就能攔截符號錯誤。易錯位：定點要放在 (x₁, y₁)，不要寫進變量 x 與 y 的位置；減去負數要記得變加號。
- 步驟 3：兩點式——先算斜率再套點斜式已知直線過兩點時，先用斜率公式算出 m，再任選其中一點套用點斜式。例如過 A(1, 2) 與 B(3, 8)：先得 m = 3，選 A 點寫 y - 2 = 3(x - 1)，化簡得 y = 3x - 1；再用 B 點驗證：3(3) - 1 = 8，正確。兩點決定一條直線，選哪一點結果都相同。易錯位：斜率還未算就硬套公式，或者化簡時符號出錯；驗證另一個點能即時發現這類錯誤，成本極低。
- 步驟 4：一般式與兩個快速讀法一般式 Ax + By + C = 0 有兩個速讀公式：斜率是 -A/B、y 軸截距是 -C/B（B 不為 0）。例如 2x + 3y - 6 = 0：斜率 -23、y 軸截距 2。畫圖捷徑是先找兩個截距：令 y = 0 得 x 軸截距 3、令 x = 0 得 y 軸截距 2，把 (3, 0) 與 (0, 2) 連成直線。易錯位：兩個速讀公式都忘記負號；鉛直線的 B = 0，沒有這兩個讀法，只能畫通過 (a, 0) 的鉛直線。
- 步驟 5：平行與垂直——斜率的兩條規則平行線的斜率相等：過 (0, 3) 而平行於 y = 2x + 1 的直線，斜率同樣是 2，方程是 y = 2x + 3。垂直線的斜率相乘等於 -1：垂直於 y = 2x + 1 的直線，斜率是 -12，記法是「倒數再加負號」。這兩條規則是考試常客，流程固定：先讀出已知斜率，按規則得新斜率，再用點斜式寫方程。易錯位：只取倒數忘記變號；水平線與鉛直線互相垂直，但不能用乘積判斷。
- 步驟 6：聯立方程求交點兩條直線的交點同時滿足兩條方程，所以把兩式聯立求解。例如 y = 3x - 1 與 y = -x + 7：令 3x - 1 = -x + 7，移項得 4x = 8，所以 x = 2，代回得 y = 5，交點 (2, 5)。這個方法同樣適用於直線與曲線的交點：把直線代入曲線，解一元二次方程。求出後代回另一條方程驗算，確保兩式都滿足。易錯位：移項時符號出錯；題目若問交點數目，要看判別式而不是只解出一組解。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：求垂直於直線 2x + y = 5 且通過點 (4, 3) 的直線方程。
- 第一步：把 2x + y = 5 化為 y = -2x + 5，讀出原線斜率 m₁ = -2，依據是斜截式中 x 的係數就是斜率。
- 第二步：套用垂直條件 m₁ × m₂ = -1，得 m₂ = -1/(-2) = 12，即新斜率是原斜率的負倒數。
- 第三步：套用點斜式：過 (4, 3) 而斜率 12，寫 y - 3 = (12)(x - 4)，展開化簡得 y = x2 + 1。
- 第四步：雙重驗證：代入 (4, 3) 得 3 = 2 + 1 ✓；斜率乘積 (-2) × (12) = -1 ✓，兩項檢查都通過。
- 答案：所求直線是 y = x2 + 1，亦可寫成一般式 x - 2y + 2 = 0。完整流程分四步：先化為斜截式讀出原斜率，再用垂直條件取負倒數，接著用點斜式寫方程並化簡，最後做兩項驗證：定點滿足方程、斜率乘積等於 -1。考試時四個步驟全部寫出來，即使最後答案抄錯，過程分仍然可以得到大部分；驗證只需十秒，卻能即時攔截符號錯誤，是穩拿分數的習慣。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1A(1,2) 與 B(3,8) 的斜率？
Q2斜率 3、過 (2,1) 的直線方程？
Q32x+3y-6=0 的斜率與 y 截距？
Q4垂直於 y=2x+1 的直線斜率？
Q5y=3x-1 與 y=-x+7 的交點？
8重點回顧 Recap
- 斜率 m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)——升除以行。
- 點斜式 y-y₁=m(x-x₁) 是最常用工具。
- 一般式快速讀法：斜率=-A/B、y 截距=-C/B。
- 平行同斜率；垂直負倒數。
- 交點用聯立——直線與曲線通用。