三角函數圖像與方程
中等y=sin x 由 0 升到 1 再回落，週期 360°；解三角方程通常有兩個答案——圖像說你知為什麼。
- 五點畫波形：0°,90°,180°,270°,360°。
- 週期 360°；振幅 1；值域 -1 至 1。
- 方程兩解：sin 用 180°-x、cos 用 360°-x。
文體小知識：三角函數圖像——對應 DSE 核心單元：y=sin x 與 y=cos x 的形狀、週期與解三角方程。
§課文原文 Passage
1y=sin x 的圖像（0°≤x≤360°）：由 (0,0) 升至 (90°,1) 最高點，回落到 (180°,0)，再跌至 (270°,-1) 最低點，最後返回 (360°,0)——這個波形每 360° 重複一次，稱為週期。y=cos x 的形狀相同，只是整體左移 90°：由 (0,1) 開始。兩者的值域都是 -1 至 1。
2圖像的用處：解三角方程。方程 sin x=0.5 在 0° 至 360° 之間有兩個解——x=30° 與 x=150°。為什麼兩個？看圖像：水平線 y=0.5 與波形交於兩點。口訣：先按計算機求基準角（30°），再看象限——正弦在第一、二象限為正，所以 180°-30°=150° 是另一解。餘弦在第一、四象限為正：cos x=0.5 的兩解是 60° 與 300°（360°-60°）。
3圖像變換與應用：y=sin 2x 週期縮短為 180°（波形壓縮）；y=2sin x 振幅變 2（波形拉高）；y=sin x+1 整體上移 1。實際應用：季節溫度、潮汐高度、摩天輪高度都近似正弦波形——用 y=a sin(bx)+c 建模，a 是振幅、b 控制週期、c 是平均水平。
1重點摘要 Summary
y=sin x 由 0 升到 1 再回落，週期 360°；解三角方程通常有兩個答案——圖像說你知為什麼。
2生字卡 Vocabulary
波形重複一次所需的 x 距離——sin 與 cos 均為 360°。
波形偏離中線的最大距離——y=sin x 的振幅是 1。
sin 與 cos 的最大值都是 1。
sin 與 cos 的最小值都是 -1。
計算機求出的銳角——再按象限配另一解。
坐標平面四分區——正弦一二象限為正，餘弦一四象限為正。
含 sin x、cos x 的方程——0° 至 360° 通常兩解。
用 y=a sin(bx)+c 描述週期現象。
3逐步講解 Steps
- 步驟 1：y = sin x 的五個關鍵點畫 y = sin x 只需五個關鍵點：(0°, 0)、(90°, 1)、(180°, 0)、(270°, -1)、(360°, 0)，用平滑曲線連接就是完整波形，考試有這五點已達基本要求。y = cos x 的五點整體左移 90°，由 (0°, 1) 開始。兩條曲線形狀完全相同，只相差水平位置 90°。易錯位：用直尺連點而不是平滑曲線；cos 在 0° 的值是 1 不是 0，這一點抄錯會令整條曲線移位。
- 步驟 2：讀圖三寶——最大值、最小值、週期描述三角函數圖像抓住三個量：最大值、最小值與週期。y = sin x 的最大值是 1（x = 90°）、最小值是 -1（x = 270°）、週期 360°。變換後的讀法：y = 2sin x 的振幅變成 2 倍，最大 2、最小 -2；y = sin 2x 的週期縮短一半成 180°；y = sin x + 1 整條曲線向上移 1。易錯位：把振幅與最大值混淆；上下平移之後最大值與最小值同步移動，但振幅不變。
- 步驟 3：解三角方程——先求基準角解三角方程的第一步是用計算機求基準角：例如 sin x = 0.5，按 sin⁻¹(0.5) 得 30°。基準角只是起點而不是完整答案，因為三角函數是週期函數，在 0° 至 360° 之內同一個函數值通常出現兩次，計算機永遠只給出其中一個解，其餘靠象限分析補足。易錯位：把第一個輸出當成唯一答案；輸入前忘記確認 DEG 模式，用 RAD 模式會得出完全錯誤的數字。
- 步驟 4：象限決定第二個解基準角求出之後，用函數在各象限的符號決定其他解：正弦在第一、二象限為正，sin x = 0.5 的解是 x = 30° 與 x = 180° - 30° = 150°；餘弦在第一、四象限為正，cos x = 0.5 的解是 60° 與 360° - 60° = 300°；正切在第一、三象限為正，第二解是 180° 加基準角。口訣：sin 補 180° - θ、cos 補 360° - θ、tan 補 180° + θ。易錯位：函數值為負時象限要換邊，先判斷符號再選象限。
- 步驟 5：建模應用——摩天輪與週期現象三角函數適合描述週期性現象，經典例子是摩天輪：半徑 10 米、軸心離地 12 米、4 分鐘轉一圈，開始轉動後 t 分鐘的高度是 h = 12 + 10sin(90t)。拆解公式三件套：10 是振幅，即離開平均位置的最大偏離；12 是平均高度，即軸心高度；90 由 360 ÷ 4 推算，即每分鐘轉 90°。最高 22 米、最低 2 米。易錯位：振幅與平均高度的角色調轉；t 的單位與週期的單位不一致。
- 步驟 6：答題格式與得分細節三角方程在指定範圍內通常有超過一個解，作答必須寫齊全部：例如「x = 30° 或 x = 150°」，只答一個解會被扣一半分數。畫圖題要標明五個關鍵點的坐標與兩軸刻度，曲線要平滑。文字題最後用完整句子回答，寫上單位並按題目要求的準確度取捨。易錯位：沒有看清範圍，答了負角度或超過 360° 的解；兩個解之間漏寫「或」字，令答案被誤讀成一組坐標。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：解三角方程 2sin x = 1，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
- 第一步：兩邊除以 2，化簡為 sin x = 0.5，依據是等式兩邊做同一個運算仍然相等。
- 第二步：用計算機求基準角：x = sin⁻¹(0.5) = 30°，計算機只輸出第一象限的解。
- 第三步：象限分析：正弦在第一、二象限為正，第二解是 x = 180° - 30° = 150°，依據是誘導公式 sin(180° - θ) = sin θ。
- 第四步：驗證：sin 30° = 0.5、sin 150° = 0.5，兩個解都滿足原方程，而且都在指定範圍之內 ✓
- 答案：答案是 x = 30° 或 x = 150°。完整流程四步：先化簡係數，再求基準角，然後按象限符號補出第二解，最後逐個代入驗證。正弦在一個 360° 週期之內兩度達到 0.5，所以必定有兩個解，只答 30° 會失去一半分數；150° 之所以成立，是因為誘導公式 sin(180° - θ) = sin θ，這條公式正是象限分析的根據，寫出依據能讓閱卷員看得清楚。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1y=sin x 的週期與最大值？
Q2y=cos x 在 x=0 的值？
Q3sin x=0.5 在 0°–360° 的兩個解？
Q4y=sin 2x 的週期？
Q5h=12+10sin(90t) 的最大高度？
8重點回顧 Recap
- 五點畫波形：0°,90°,180°,270°,360°。
- 週期 360°；振幅 1；值域 -1 至 1。
- 方程兩解：sin 用 180°-x、cos 用 360°-x。
- 變換：b 加倍週期減半；a 加倍振幅加倍。
- 建模三件套：a 振幅＋c 平均＋週期。