坐標幾何

1重點摘要 Summary

學會兩點距離、中點、斜率、直線方程。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：距離公式——勾股定理的坐標版兩點 A(x₁, y₁) 與 B(x₂, y₂) 之間的距離是 d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]，它其實是勾股定理：兩點的水平差與鉛直差構成直角三角形的兩條直角邊，距離就是斜邊。使用時先標明兩點坐標，再逐項代入，括號內先做減法後平方。易錯位：兩處減法的次序必須一致，負數平方後變正數，漏了平方或者最後忘記開方，都是常見的失分點。
2. 第二步：中點公式——兩個坐標各自平均線段 AB 的中點坐標是 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)，即 x 坐標取平均、y 坐標也取平均，原理是中點在水平與鉛直兩個方向都位於正中。公式常用於證明題：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，就是靠比較兩條對角線的中點是否相同。易錯位：只把其中一個坐標取平均，或者把中點公式與距離公式混淆；代入時 x₁ 配 y₁、x₂ 配 y₂，次序不可以交叉。
3. 第三步：斜率公式——上升量除以水平量過兩點的直線斜率 m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)，分子是鉛直方向的變化，分母是水平方向的變化。斜率描述直線的傾斜程度：m > 0 向上傾斜，m < 0 向下傾斜，m = 0 是水平線，分母為 0 時直線鉛直、斜率不存在。易錯位：分子與分母選點的次序必須一致，寫成 (y₂-y₁)/(x₁-x₂) 會得出正負相反的答案；計算前先確認兩點的 x 坐標不相同。
4. 第四步：直線方程——點斜式是求方程的鑰匙已知斜率 m 與線上一點 (x₁, y₁)，直線方程是 y - y₁ = m(x - x₁)，依據是線上任何一點與定點連線的斜率都等於 m。求出後習慣化簡為 y = mx + c，方便讀出斜率與 y 軸截距。易錯位：定點要放在 (x₁, y₁) 的位置，變量 x 與 y 保留在方程之中；化簡時留意符號，特別是減去負數要變加號。
5. 第五步：平行與垂直——斜率的兩種關係兩條直線平行當且僅當斜率相等，即 m₁ = m₂，因為方向相同的直線傾斜程度相同。若兩條直線的斜率都存在，垂直當且僅當 m₁ × m₂ = -1，即一條的斜率是另一條的負倒數：斜率 2 的垂直線斜率是 -12。求平行線或垂直線方程時，先求新斜率，再用點斜式。易錯位：只取倒數而忘記變號；鉛直線沒有斜率，它與水平線互相垂直，要靠圖像理解而不是公式。
6. 第六步：畫圖驗證與綜合運用完成計算之後，把關鍵點畫在坐標平面上粗略檢查：距離是否合理、中點是否在線段正中、直線是否經過已知點。綜合題常把幾個公式串連：先算斜率判斷圖形類型，再用距離公式證明兩邊相等，最後用中點公式證明對角線互相平分。易錯位：只靠計算不作圖，一旦代錯數字便無從察覺；草圖不必準確，但足以攔截明顯的錯誤，是成本最低的自查方法。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 距離：√[(x差)² + (y差)²]
• 中點：兩個 x 平均，兩個 y 平均
• 斜率：(y差)/(x差)
• 平行：斜率一樣
• 垂直：斜率相乘 = -1