圓的基本性質

1重點摘要 Summary

學會圓心角、圓周角、半徑直徑等基本性質。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：認識圓的基本元素圓是與固定點（圓心）距離相等的所有點組成的圖形，該距離稱為半徑；直徑是經過圓心且兩端在圓上的線段，長度是半徑的兩倍。此外還要認識弦（連接圓上兩點的線段）、弧（圓周的一部分）以及切線（與圓只有一個接觸點的直線）。畫圖時先標出圓心 O 與半徑，之後引用任何圓的定理都會更清楚，也不易看漏條件。
2. 第二步：圓周與面積公式圓周（周界）的公式是 C = 2πr，面積的公式是 A = πr²，兩者都以半徑 r 表示。若題目給出直徑 d，可以先除以 2 求半徑，或直接用 C = πd 與 A = πd²/4。易錯位有兩個：一是把直徑當作半徑直接代入，二是忘記面積公式中的 r 要平方。計算時保持 π 為符號，或用計數機的 π 值，避免以 3.14 過早近似。
3. 第三步：圓心角等於兩倍圓周角圓心角定理指出：同一條弧所對的圓心角，等於該弧所對的圓周角的兩倍。例如弧 AB 對著圓心 O 的角為 100°，則圓周上任何一點對該弧的圓周角都是 50°。使用時必須確認兩個角確實對著同一段弧，這是最容易出錯的地方；建議在圖中用記號把弧與兩個角標示出來，核對無誤後才寫出「圓心角 = 兩倍圓周角」的式子。
4. 第四步：半圓上的圓周角半圓上的圓周角定理是圓心角定理的直接推論：直徑所對的圓心角是 180°，所以直徑兩端與圓上任何一點組成的角，即半圓上的圓周角，必然是 180° 的一半，等於 90°。解題時只要見到直徑與圓上一點構成的三角形，就應立即想到該三角形是直角三角形；這個性質經常與畢氏定理一起使用，用來求第三邊的長度。
5. 第五步：等弦對等弧等弦對等弧定理說明：在同一個圓（或等圓）中，兩條弦相等，若且唯若它們所對的弧相等，同時兩弦的弦心距（圓心到弦的垂直距離）也相等。應用時可寫「等弦對等弧」或反過來「等弧對等弦」，方向視乎已知與所求。要注意弧有優弧與劣弧之分，引用定理時一般取同類的弧作比較；證明題中應先說明兩弦在同一個圓內，然後才引用定理。
6. 第六步：圓心至弦的垂線平分弦由圓心作垂直線落在一條弦上，該垂線必定平分這條弦，同時也平分弦所對的弧。這個性質常用來求弦長或弦心距：設半徑為 r、弦心距為 d、半弦長為 a，則 r² = d² + a²，正好是畢氏定理的應用。易錯之處是忘記垂線平分的是半條弦，代入時誤用整條弦長；正確做法是先把弦長除以 2，才放進畢氏定理的方程。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 直徑 = 2 × 半徑
• 圓周 = 2πr，面積 = πr²
• 圓心角 = 2 × 同弧圓周角
• 直徑對的圓周角 = 90°
• 圓心垂直弦一定平分弦