變分

1重點摘要 Summary

學會正變、反變、聯變，解現實比例問題。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：判斷變分的種類變分描述兩個或多個量之間的固定關係。讀題時抓緊關鍵詞：「y 與 x 成正比」表示正變，「y 與 x 成反比」表示反變；若同時涉及兩個變量，例如 y 與 x² 成正比且與 z 成反比，就是聯變。判斷錯種類會令整題全錯，所以動筆前應先把文字敘述翻譯成比例關係，確認一個量變化時另一個量怎樣跟著變，然後才動手寫方程。
2. 第二步：寫出含 k 的方程判斷種類後立即寫出一般方程：正變寫 y = kx；反變寫 y = k/x，即 y 與 1/x 成正比；聯變則把各因子按比例相乘或相除，例如 y = kx²/z。常數 k 稱為變分常數，每道題目都有自己的一個 k。易錯位是把反變誤寫成 y = -kx，或漏掉 x² 這類平方因子；書寫時應逐字對照題目的文字敘述，確保方程與文字一致。
3. 第三步：代入已知數求 k題目通常會給出一組對應值，例如「當 x = 2 時 y = 10」。把這組數代入第二步的方程，得到只含 k 的一元方程，解出 k。這一步的本質是：k 是把一般關係固定成本題專屬關係的鑰匙，不同題目的 k 不同，絕不可以沿用上一題的 k。計算 k 時若出現分數，保留分數形式會比化成小數更準確，也方便之後驗算。
4. 第四步：寫出完整的關係式求得 k 之後，把它代回方程，寫出本題專屬的完整關係式，例如 y = 5x 或 y = 120/x。很多考生以為求出 k 就完成，其實明確寫出關係式，才能避免下一步代錯公式。檢查方法是把已知的那組數字代回關係式，看等號兩邊是否相等；若相等，關係式正確；若不等，說明 k 或方程有錯，應立即回頭檢查。
5. 第五步：代入求新的未知值有了完整關係式，把題目要求的新值代入即可。正變中 x 變大，y 亦按相同比例變大；反變中 x 變大，y 則變小，所以代入前先估計答案的變化方向，可以即時察覺代錯位置。計算時先寫出代入後的算式，再按次序運算，避免心算跳步；若是聯變，每個變量的位置與指數都要對準，漏了平方或除數都是常見的失分原因。
6. 第六步：驗算與檢查合理性最後從兩個層面驗算：第一，把新答案連同已知數放回關係式，確認等式成立；第二，檢查變化方向是否與變分種類相符，例如正變不應出現一個量增大而另一個量減小的結果。此外要留意答案的實際意義，例如長度與重量不可為負。養成驗算習慣只需十多秒，卻能攔截大部分計算錯誤，是穩拿分數的重要一步。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 正變：y = kx，成正比
• 反變：y = k/x，成反比
• 先用已知數找 k
• 找到 k 先可以求未知
• 正比 x 倍 y 都倍，反比 x 倍 y 就一半