三角學應用

1重點摘要 Summary

學會仰角、俯角、方位角，解現實應用題。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：先畫圖，把資料變成直角三角形做三角學應用題的第一步永遠是畫圖。把題目文字裡的資料整理成一個直角三角形，標明哪一條邊已知、哪一個角已知、要求的是哪一條邊或哪一個角。畫圖的原因是文字敘述容易令人混淆，而圖像能把空間關係直觀地呈現出來。常見錯誤是還未分清對邊與鄰邊就急著套用公式，結果整題選錯三角比，白白失分。
2. 第二步：仰角——由水平線向上望的角度仰角是指觀察者由水平線向上望向目標時，視線與水平線之間的夾角。例如站在地面仰望樹頂，視線與水平線形成的角就是仰角；題目寫「仰角 30°」，意思是視線比水平線高 30°。易錯位：仰角必須以水平線為基準，不是以鉛垂線為基準，畫圖時要先畫一條水平的虛線，再在其上量出角度。
3. 第三步：俯角——由高處向下望的角度俯角是指觀察者由高處的水平線向下望向目標時，視線與水平線之間的夾角。重點是兩條水平線互相平行，所以高處的俯角與低處的仰角是一對內錯角，度數相等：題目給仰角 25°，對應的俯角同樣是 25°。這條平行線性質是俯角題目最常用的橋樑。易錯位：俯角由水平線起量而不是由鉛垂線起量，基準一錯，三角形內角就全部跟著錯。
4. 第四步：方位角——由正北順時針量度的三位數方位角由正北方向開始，順時針量度，作答時必須寫成三位數：正北是 000°、正東是 090°、正南是 180°、正西是 270°，東北要寫 045° 而不是 45°。做方位角題目時，先在每一個觀察點畫出十字方位圖，標明南北線再標角度。易錯位：由 A 看 B 與由 B 看 A 的方位角相差 180°，兩個觀察點都要畫圖，只畫一邊很容易把角度量到反方向。
5. 第五步：選擇三角比——SOH CAH TOA畫好圖並標明已知數之後，判斷已知一邊與未知一邊相對於該角的角色：已知對邊與斜邊用正弦 sin，已知鄰邊與斜邊用餘弦 cos，已知對邊與鄰邊用正切 tan，口訣是 SOH CAH TOA。要選對三角比，原因是每條公式只連繫三個量，有兩個已知量才能解出第三個。易錯位：斜邊永遠是直角對面最長的一條，對邊與鄰邊則隨所看的角而改變，必須先確認直角位置再命名各邊。
6. 第六步：解方程、驗算與寫答案列出三角比方程之後，用計算機求出邊長或角度，動手前先確認計算機已調校到角度 DEG 模式。答案必須寫單位：距離用米、角度用度，並且按題目要求取捨準確度，例如準確至三位有效數字或一位小數。中間步驟不要過早四捨五入，應保留多一點小數位到最後才取捨，否則答案會偏離。最後用常理檢查：樹的高度不應該比山還高，斜邊不應該短於直角邊，發現不合理即時重查。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 應用題一定要畫圖
• 仰角向上望，俯角向下望
• 方位角由正北順時針量，三位數
• 找到直角三角形先可以用三角比
• 答案記得單位