基本三角學
基礎學會正弦、餘弦、正切，會用 30° 45° 60° 特殊角。
學完呢課，你會識：
- 直角三角形先可以用三角比
- SOHCAHTOA：Sin=對/斜，Cos=鄰/斜，Tan=對/鄰
- 斜邊最長，對直角
1重點摘要 Summary
學會正弦、餘弦、正切，會用 30° 45° 60° 特殊角。
2生字卡 Vocabulary
S
Sine正弦
sin θ = 對邊 / 斜邊。
C
Cosine餘弦
cos θ = 鄰邊 / 斜邊。
T
Tangent正切
tan θ = 對邊 / 鄰邊。
O
Opposite對邊
對著角 θ 那邊。
A
Adjacent鄰邊
和角 θ 相鄰那一邊（不是斜邊）。
H
Hypotenuse斜邊
最長那邊，對直角。
S
Special angles特殊角
30°、45°、60°，有精確值。
S
SOHCAHTOA三角口訣
Sin=對/斜，Cos=鄰/斜，Tan=對/鄰。
3逐步講解 Steps
- 第一步：認識直角三角形直角三角形是有一個內角等於 90° 的三角形，其中最長的一邊稱為斜邊，它必定對著直角。其餘兩條邊的名稱並不固定，要視乎我們選擇哪一個銳角來討論：對著該角的一邊稱為對邊，與該角相鄰的一邊稱為鄰邊。初學者常見的錯誤，是忘記了對邊與鄰邊會隨所選的角改變，所以必須先明確指出角 θ，然後才命名兩條邊。
- 第二步：SOHCAHTOA 口訣三角比有三條基本公式：正弦 sin θ = 對邊/斜邊，餘弦 cos θ = 鄰邊/斜邊，正切 tan θ = 對邊/鄰邊。口訣 SOHCAHTOA 把三組字首串連起來，幫助記憶。要留意三條公式都是兩邊相除的比，所以只要知道任意兩邊，或一邊一角，就能建立方程。易錯之處是把對邊與鄰邊調轉，令 sin 與 cos 用錯，動筆前應先標明三邊名稱。
- 第三步：確定對邊與鄰邊解題前先在圖中標出角 θ，然後命名三邊：斜邊永遠對著直角，位置不變；對邊是正對著 θ 的那一條；鄰邊是與 θ 相接且不是斜邊的一條。若題目改問另一個銳角，對邊與鄰邊就會互換，這是最常見的失分位。建議用鉛筆在圖上輕輕標記 H、O、A 三個字母，代入公式前再核對一次，可大幅減少錯誤。
- 第四步：選用合適的三角比選擇三角比的方法，是觀察題目已知哪兩邊、要求哪一邊：已知斜邊與對邊就用 sin，已知斜邊與鄰邊就用 cos，已知對邊與鄰邊就用 tan。原則是方程中只可以有一個未知數，若公式內出現兩個未知邊，即表示選錯了比。遇到角度未知而兩邊已知的情況，同樣按此原則選比，然後用反三角函數求角，例如 θ = sin⁻¹(對邊/斜邊)。
- 第五步：背熟特殊角數值30°、45°、60° 的三角比必須背熟：sin 30° = 12，cos 30° = √32，tan 30° = 1/√3；sin 45° = cos 45° = √22，tan 45° = 1；sin 60° = √32，cos 60° = 12，tan 60° = √3。記憶時可用 30-60-90 與 45-45-90 兩種特殊直角三角形自行推導，理解後即使忘記也能重推。考試常要求以根式作答，不要過早化成小數，以免損失準確度。
- 第六步：建立方程求未知邊求未知邊時，先選定合適的三角比，寫出例如 sin 30° = 對邊/斜邊的方程，再把已知數值代入，最後移項求解。整個過程必須保持足夠位數的中間值，通常保留四位小數，或直接用計數機的記憶功能，到最後一步才四捨五入至題目要求的準確度。常見錯誤是過早捨入，令最終答案偏差超出容許範圍而被扣分。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例：在直角三角形中，角 θ = 30°，斜邊 = 10，求對邊的長度，並說明每一步的依據。
- 先確認已知條件：已知斜邊為 10，要求對邊，兩者正好是正弦定義中的分母與分子，所以選用 sin 函數。
- 寫出定義方程 sin 30° = 對邊/斜邊，依據是正弦比的定義：對邊與斜邊之比。
- 代入 sin 30° = 12 與斜邊 10，得 12 = 對邊/10，兩邊同時乘以 10（依據等式性質），得對邊 = 10 × 12 = 5。
- 檢查結果：在 30-60-90 三角形中，30° 的對邊應為斜邊的一半，5 正好等於 10 的一半，答案合理。
- 答案：對邊的長度是 5。整題的關鍵在於確認已知一邊與未知一邊的組合，選用正確的三角比，再由特殊角 sin 30° = 12 建立方程求解，最後用 30-60-90 三角形的性質檢驗答案是否合理，這個流程適用於所有直角三角形的求邊問題。
6常見錯誤 Mistakes
✗ ✗ 對邊鄰邊弄錯
✓ ✓ 先找到角 θ，對著它的先是對邊！
✗ ✗ SOHCAHTOA 記錯
✓ ✓ Sin=對/斜，Cos=鄰/斜，Tan=對/鄰！
✗ ✗ 特殊角值亂背
✓ ✓ 30° 60° 互換，sin30 = cos60 = 12！
✗ ✗ 求斜邊乘除調轉：sin 30° = 5/斜邊，寫成斜邊 = 5 × sin 30° = 2.5
✓ ✓ 5 是分子，斜邊是分母：斜邊 = 5 ÷ sin 30° = 10。斜邊一定是最長，計到 2.5 比對邊 5 還短，即刻知錯！
75 題快測 Quick check
Q1sin θ = ?
答案 Answer：對邊 / 斜邊
你答對嗎？
Q2tan 45° = ?
答案 Answer：1
你答對嗎？
Q3最長邊叫？
答案 Answer：斜邊
你答對嗎？
Q4cos 30° = ?
答案 Answer：√32
你答對嗎？
Q5tan θ = ?
答案 Answer：對邊 / 鄰邊
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 直角三角形先可以用三角比
- SOHCAHTOA：Sin=對/斜，Cos=鄰/斜，Tan=對/鄰
- 斜邊最長，對直角
- 特殊角：30° 45° 60° 要記住值
- 看已知和未知邊，選用哪個三角比