立體幾何

1重點摘要 Summary

學會角柱、圓柱、錐、球的體積和表面積。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：角柱的體積角柱是有兩個全等且平行的多邊形底面、側面均為平行四邊形的立體，其體積公式是 V = 底面積 × 高。這裡的高指兩個底面之間的垂直距離，不是側棱的長度；角柱斜放時尤其要分清。常見的三角柱、長方體與正方體都屬於角柱，例如長方體體積是長 × 闊 × 高，正是底面積乘高的特例。求底面積時，按底面的形狀選用相應的面積公式。
2. 第二步：圓柱的體積圓柱可視為底面是圓的角柱，體積同樣是底面積乘高，即 V = πr²h，其中 r 是底半徑，h 是垂直高。計算時應先算底面積 πr²，再乘以高，次序顛倒容易漏乘平方。要注意半徑與直徑的分辨：題目給直徑時必須先除以 2。另外，斜圓柱（兩底錯開）的體積同樣用垂直高計算，道理與斜角柱相同，考試偶爾以此設問，審題時要看清楚給的是半徑還是直徑。
3. 第三步：角錐的體積角錐只有一個多邊形底面，其餘各面是共頂點的三角形，體積公式是 V = (13) × 底面積 × 高。這裡的高是頂點到底面的垂直距離，並非側面的斜邊長；在立體圖中，這條高常常要另行加輔助線，再用畢氏定理或三角比求出。係數 13 的由來，是同底同高的角錐體積正好等於角柱的三分之一，可用水或沙的實驗演示。忘記乘 13 是本課最常見的錯誤，必須養成寫公式的習慣。
4. 第四步：圓錐的體積圓錐是底面為圓的錐體，體積公式是 V = (13)πr²h，正好是同底同高圓柱體積的三分之一，與角錐對角柱的關係完全平行。計算次序建議是先寫底面積 πr²，乘高之後再乘 13，逐步寫清楚。考試常與圓錐的表面積或斜高 l 一起考，斜高與半徑、垂直高滿足 l² = r² + h²，這條關係來自軸截面是等腰三角形，可分割成兩個直角三角形處理。
5. 第五步：球的體積球是完全對稱的立體，球面上任何一點到球心的距離都等於半徑 r，體積公式是 V = (43)πr³。注意半徑在公式中是三次方，所以半徑加倍時體積變為八倍，這個放大關係常用於選擇題。計算時先算 r³，再乘 43 與 π。球沒有頂點與平面側面，不適用錐體或柱體公式；若題目給的是直徑，同樣先除以 2 化成半徑才代入，這是基本但易犯的失誤。
6. 第六步：表面積的處理表面積是把立體所有表面的面積相加：角柱等於兩個底面加各側面；圓柱等於兩個圓底（2πr²）加側面（2πr × h，即底周界乘高）；圓錐等於圓底加扇形側面（πrl，l 為斜高）；球的面積是 4πr²。策略是先把立體拆面：想像展開圖，列出每一部分，逐一計算再相加。易錯位是漏了隱藏的底面，或把側面積當作總表面積，審題時必須看清楚題目要求哪一個。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 柱體積 = 底面積 × 高
• 錐體積 = 13 × 底面積 × 高
• 球體積 = 43 πr³
• 圓柱側面 = 2πr × 高
• 表面積要計算所有面