圓的方程

1重點摘要 Summary

學會圓的標準方程同一般方程，由方程找圓心和半徑。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：標準式——直接讀出圓心與半徑圓的標準式是 (x - h)² + (y - k)² = r²，圓心是 (h, k)、半徑是 r，依據是圓上每一點到圓心的距離都等於 r。注意括號內永遠是減號：方程 (x - 3)² + (y + 2)² = 16 的圓心是 (3, -2)、半徑是 4，因為 y + 2 即 y - (-2)。易錯位：把 y + 2 讀成圓心 y 坐標是 2；或者忘記右邊是 r²，開方之後才是半徑。
2. 第二步：一般式——三個係數的讀法圓的一般式是 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，特徵是 x² 與 y² 的係數相同而且沒有 xy 項。一般式不能直接讀出圓心與半徑，要靠兩條公式：圓心 (-D2, -E2)、半徑 √[(D2)² + (E2)² - F]。易錯位：圓心忘記變號；根號內 F 的前面是減號；若根號內算出負數，方程不代表任何實數圓，作答前必須檢查。
3. 第三步：配方法——由一般式變回標準式配方是把一般式化為標準式的通用方法：把 x² + Dx 寫成 (x + D2)² - (D2)²，y² + Ey 用同樣方式處理，把常數全部移到右邊整理，即得標準式並讀出圓心與半徑。配方的原因是標準式能直接顯示幾何資料，而一般式不可以。易錯位：展開 (x + D2)² 時漏寫後面的 -(D2)²，令半徑平方被多算；分數係數要先寫清楚再平方，避免中間步驟出現符號錯誤。
4. 第四步：由幾何條件求方程——圓心與半徑是靈魂不少題目反過來給幾何條件求圓的方程，關鍵是先確定圓心與半徑兩個要素：已知直徑兩端點時，用中點公式求圓心、用距離公式求半徑；已知圓心與圓上一點時，兩點的距離就是半徑；圓與 x 軸相切時，半徑等於圓心 y 坐標的絕對值。求出兩個要素之後代入標準式即完成。易錯位：相切條件理解錯誤，圓心在負半軸時半徑要取絕對值，直接寫坐標會得出負半徑。
5. 第五步：點與圓的位置關係判斷點 P(x₀, y₀) 與圓的位置關係，把坐標代入方程左一邊再與右一邊比較：左邊小於 r²，點在圓內；等於 r²，點在圓上；大於 r²，點在圓外。原理是左邊就是該點到圓心距離的平方，比較其實是比較距離與半徑。這類判斷常與切線、交點題一起出現。易錯位：只比較單一坐標而不平方相加；或者把圓內與圓外的條件寫反，牢記圓內點離圓心較近。
6. 第六步：驗算與常見題型總結求出圓方程之後做兩個快速檢查：一是把圓心與圓上一點代入，兩點距離應該等於半徑；二是確認 x² 與 y² 係數相同而且沒有 xy 項，否則方程不是圓。常見題型包括由一般式求圓心半徑、由幾何條件建方程、判斷點與圓的位置、求圓與直線的交點，全部圍繞圓心與半徑兩個核心量。易錯位：驗算不要只代一個數便草草了事，最好選一個容易計算的點，例如與圓心同一水平或鉛直的點。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 標準式：(x-h)² + (y-k)² = r²
• 圓心 (h, k)，半徑 r
• (x - h)² 圓心 h 不用轉號
• 右邊是 r²，要開方先是半徑
• 一般式圓心 (-D2, -E2)