圆的方程

1重点摘要 Summary

学会圆的标准方程同一般方程，由方程找圆心和半径。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：标准式——直接读出圆心与半径圆的标准式是 (x - h)² + (y - k)² = r²，圆心是 (h, k)、半径是 r，依据是圆上每一点到圆心的距离都等于 r。注意括号内永远是减号：方程 (x - 3)² + (y + 2)² = 16 的圆心是 (3, -2)、半径是 4，因为 y + 2 即 y - (-2)。易错位：把 y + 2 读成圆心 y 坐标是 2；或者忘记右边是 r²，开方之后才是半径。
2. 第二步：一般式——三个系数的读法圆的一般式是 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，特征是 x² 与 y² 的系数相同而且没有 xy 项。一般式不能直接读出圆心与半径，要靠两条公式：圆心 (-D2, -E2)、半径 √[(D2)² + (E2)² - F]。易错位：圆心忘记变号；根号内 F 的前面是减号；若根号内算出负数，方程不代表任何实数圆，作答前必须检查。
3. 第三步：配方法——由一般式变回标准式配方是把一般式化为标准式的通用方法：把 x² + Dx 写成 (x + D2)² - (D2)²，y² + Ey 用同样方式处理，把常数全部移到右边整理，即得标准式并读出圆心与半径。配方的原因是标准式能直接显示几何资料，而一般式不可以。易错位：展开 (x + D2)² 时漏写后面的 -(D2)²，令半径平方被多算；分数系数要先写清楚再平方，避免中间步骤出现符号错误。
4. 第四步：由几何条件求方程——圆心与半径是灵魂不少题目反过来给几何条件求圆的方程，关键是先确定圆心与半径两个要素：已知直径两端点时，用中点公式求圆心、用距离公式求半径；已知圆心与圆上一点时，两点的距离就是半径；圆与 x 轴相切时，半径等于圆心 y 坐标的绝对值。求出两个要素之后代入标准式即完成。易错位：相切条件理解错误，圆心在负半轴时半径要取绝对值，直接写坐标会得出负半径。
5. 第五步：点与圆的位置关系判断点 P(x₀, y₀) 与圆的位置关系，把坐标代入方程左一边再与右一边比较：左边小于 r²，点在圆内；等于 r²，点在圆上；大于 r²，点在圆外。原理是左边就是该点到圆心距离的平方，比较其实是比较距离与半径。这类判断常与切线、交点题一起出现。易错位：只比较单一坐标而不平方相加；或者把圆内与圆外的条件写反，牢记圆内点离圆心较近。
6. 第六步：验算与常见题型总结求出圆方程之后做两个快速检查：一是把圆心与圆上一点代入，两点距离应该等于半径；二是确认 x² 与 y² 系数相同而且没有 xy 项，否则方程不是圆。常见题型包括由一般式求圆心半径、由几何条件建方程、判断点与圆的位置、求圆与直线的交点，全部围绕圆心与半径两个核心量。易错位：验算不要只代一个数便草草了事，最好选一个容易计算的点，例如与圆心同一水平或铅直的点。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 标准式：(x-h)² + (y-k)² = r²
• 圆心 (h, k)，半径 r
• (x - h)² 圆心 h 不用转号
• 右边是 r²，要开方先是半径
• 一般式圆心 (-D2, -E2)