变分

1重点摘要 Summary

学会正变、反变、联变，解现实比例问题。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：判断变分的种类变分描述两个或多个量之间的固定关系。读题时抓紧关键词：「y 与 x 成正比」表示正变，「y 与 x 成反比」表示反变；若同时涉及两个变量，例如 y 与 x² 成正比且与 z 成反比，就是联变。判断错种类会令整题全错，所以动笔前应先把文字叙述翻译成比例关系，确认一个量变化时另一个量怎样跟著变，然后才动手写方程。
2. 第二步：写出含 k 的方程判断种类后立即写出一般方程：正变写 y = kx；反变写 y = k/x，即 y 与 1/x 成正比；联变则把各因子按比例相乘或相除，例如 y = kx²/z。常数 k 称为变分常数，每道题目都有自己的一个 k。易错位是把反变误写成 y = -kx，或漏掉 x² 这类平方因子；书写时应逐字对照题目的文字叙述，确保方程与文字一致。
3. 第三步：代入已知数求 k题目通常会给出一组对应值，例如「当 x = 2 时 y = 10」。把这组数代入第二步的方程，得到只含 k 的一元方程，解出 k。这一步的本质是：k 是把一般关系固定成本题专属关系的钥匙，不同题目的 k 不同，绝不可以沿用上一题的 k。计算 k 时若出现分数，保留分数形式会比化成小数更准确，也方便之后验算。
4. 第四步：写出完整的关系式求得 k 之后，把它代回方程，写出本题专属的完整关系式，例如 y = 5x 或 y = 120/x。很多考生以为求出 k 就完成，其实明确写出关系式，才能避免下一步代错公式。检查方法是把已知的那组数字代回关系式，看等号两边是否相等；若相等，关系式正确；若不等，说明 k 或方程有错，应立即回头检查。
5. 第五步：代入求新的未知值有了完整关系式，把题目要求的新值代入即可。正变中 x 变大，y 亦按相同比例变大；反变中 x 变大，y 则变小，所以代入前先估计答案的变化方向，可以即时察觉代错位置。计算时先写出代入后的算式，再按次序运算，避免心算跳步；若是联变，每个变量的位置与指数都要对准，漏了平方或除数都是常见的失分原因。
6. 第六步：验算与检查合理性最后从两个层面验算：第一，把新答案连同已知数放回关系式，确认等式成立；第二，检查变化方向是否与变分种类相符，例如正变不应出现一个量增大而另一个量减小的结果。此外要留意答案的实际意义，例如长度与重量不可为负。养成验算习惯只需十多秒，却能拦截大部分计算错误，是稳拿分数的重要一步。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 正变：y = kx，成正比
• 反变：y = k/x，成反比
• 先用已知数找 k
• 找到 k 先可以求未知
• 正比 x 倍 y 都倍，反比 x 倍 y 就一半