三角学应用
中等学会仰角、俯角、方位角，解现实应用题。
学完呢课，你会识：
- 应用题一定要画图
- 仰角向上望，俯角向下望
- 方位角由正北顺时针量，三位数
读呢课前，你应该识： 基本三角学
1重点摘要 Summary
学会仰角、俯角、方位角，解现实应用题。
2生字卡 Vocabulary
A
Angle of elevation仰角
由水平线向上望的角度，例如望山顶。
A
Angle of depression俯角
由水平线向下望的角度，例如由山顶望下面。
B
Bearing方位角
由正北顺时针量度的角度，三位数，例如 045°。
H
Horizontal水平线
平行地面的线。
V
Vertical垂直线
垂直地面的线，上下方向。
R
Right triangle直角三角形
画图之后形成的直角三角形。
S
Solve problem解应用题
画图，找直角三角形，用三角比计答案。
D
Distances距离
两点之间的长度。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：先画图，把资料变成直角三角形做三角学应用题的第一步永远是画图。把题目文字里的资料整理成一个直角三角形，标明哪一条边已知、哪一个角已知、要求的是哪一条边或哪一个角。画图的原因是文字叙述容易令人混淆，而图像能把空间关系直观地呈现出来。常见错误是还未分清对边与邻边就急著套用公式，结果整题选错三角比，白白失分。
- 第二步：仰角——由水平线向上望的角度仰角是指观察者由水平线向上望向目标时，视线与水平线之间的夹角。例如站在地面仰望树顶，视线与水平线形成的角就是仰角；题目写「仰角 30°」，意思是视线比水平线高 30°。易错位：仰角必须以水平线为基准，不是以铅垂线为基准，画图时要先画一条水平的虚线，再在其上量出角度。
- 第三步：俯角——由高处向下望的角度俯角是指观察者由高处的水平线向下望向目标时，视线与水平线之间的夹角。重点是两条水平线互相平行，所以高处的俯角与低处的仰角是一对内错角，度数相等：题目给仰角 25°，对应的俯角同样是 25°。这条平行线性质是俯角题目最常用的桥梁。易错位：俯角由水平线起量而不是由铅垂线起量，基准一错，三角形内角就全部跟著错。
- 第四步：方位角——由正北顺时针量度的三位数方位角由正北方向开始，顺时针量度，作答时必须写成三位数：正北是 000°、正东是 090°、正南是 180°、正西是 270°，东北要写 045° 而不是 45°。做方位角题目时，先在每一个观察点画出十字方位图，标明南北线再标角度。易错位：由 A 看 B 与由 B 看 A 的方位角相差 180°，两个观察点都要画图，只画一边很容易把角度量到反方向。
- 第五步：选择三角比——SOH CAH TOA画好图并标明已知数之后，判断已知一边与未知一边相对于该角的角色：已知对边与斜边用正弦 sin，已知邻边与斜边用余弦 cos，已知对边与邻边用正切 tan，口诀是 SOH CAH TOA。要选对三角比，原因是每条公式只连系三个量，有两个已知量才能解出第三个。易错位：斜边永远是直角对面最长的一条，对边与邻边则随所看的角而改变，必须先确认直角位置再命名各边。
- 第六步：解方程、验算与写答案列出三角比方程之后，用计算机求出边长或角度，动手前先确认计算机已调校到角度 DEG 模式。答案必须写单位：距离用米、角度用度，并且按题目要求取舍准确度，例如准确至三位有效数字或一位小数。中间步骤不要过早四舍五入，应保留多一点小数位到最后才取舍，否则答案会偏离。最后用常理检查：树的高度不应该比山还高，斜边不应该短于直角边，发现不合理即时重查。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
例题：由地面一点望向树顶的仰角是 30°，该点与树底的水平距离是 10 米，求树的高度。
- 第一步：把情境画成直角三角形：水平距离 10 米是邻边，仰角 30° 在水平线之上，树高是对边，因为树干与地面垂直。
- 第二步：涉及对边与邻边，按 TOA 选用正切：tan 30° = 树高 ÷ 10，依据是正切等于对边除以邻边。
- 第三步：代入 tan 30° = 1/√3（约 0.5774），得方程 1/√3 = 树高/10，两边再乘以 10。
- 第四步：解得树高 = 10/√3 = 10√33 ≈ 5.77 米，按题目要求的准确度取舍并写上单位。
- 答案：树高 = 10/√3 ≈ 5.77 米（准确至三位有效数字）。本题流程：先把文字情境画成直角三角形，确认仰角由水平线起量，再按对边与邻边的组合选出正切，解方程后取舍准确度并写上单位。验算思路：tan 30° 小于 1，所以树高应该小于水平距离 10 米，答案 5.77 米合理；若结果大于 10 米，即表示选错三角比或者角度摆错位置，必须重查。
6常见错误 Mistakes
✗ ✗ 仰角俯角弄错方向
✓ ✓ 向上望是仰角，向下望是俯角！
✗ ✗ 方位角由东开始量
✓ ✓ 方位角由正北顺时针量！
✗ ✗ 不画图直接计
✓ ✓ 应用题一定要画图先！
✗ ✗ 反方向方位角照抄：由 A 望 B 是 200°，由 B 望 A 都写 200°
✓ ✓ 方向反转要 ±180°：由 B 望 A 是 020°。想深一层：B 在 A 的南偏西，A 就在 B 的北偏东，方位角不会一样！
75 题快测 Quick check
Q1由下向上望叫？
答案 Answer：仰角
你答对吗？
Q2方位角由哪个方向开始量？
答案 Answer：正北顺时针
你答对吗？
Q3仰角 30°，邻边 10，求对边用？
答案 Answer：tan
你答对吗？
Q4仰角和俯角是？
答案 Answer：一样大（内错角）
你答对吗？
Q5方位角 090° 是哪个方向？
答案 Answer：正东
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 应用题一定要画图
- 仰角向上望，俯角向下望
- 方位角由正北顺时针量，三位数
- 找到直角三角形先可以用三角比
- 答案记得单位