圆的基本性质

1重点摘要 Summary

学会圆心角、圆周角、半径直径等基本性质。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：认识圆的基本元素圆是与固定点（圆心）距离相等的所有点组成的图形，该距离称为半径；直径是经过圆心且两端在圆上的线段，长度是半径的两倍。此外还要认识弦（连接圆上两点的线段）、弧（圆周的一部分）以及切线（与圆只有一个接触点的直线）。画图时先标出圆心 O 与半径，之后引用任何圆的定理都会更清楚，也不易看漏条件。
2. 第二步：圆周与面积公式圆周（周界）的公式是 C = 2πr，面积的公式是 A = πr²，两者都以半径 r 表示。若题目给出直径 d，可以先除以 2 求半径，或直接用 C = πd 与 A = πd²/4。易错位有两个：一是把直径当作半径直接代入，二是忘记面积公式中的 r 要平方。计算时保持 π 为符号，或用计数机的 π 值，避免以 3.14 过早近似。
3. 第三步：圆心角等于两倍圆周角圆心角定理指出：同一条弧所对的圆心角，等于该弧所对的圆周角的两倍。例如弧 AB 对著圆心 O 的角为 100°，则圆周上任何一点对该弧的圆周角都是 50°。使用时必须确认两个角确实对著同一段弧，这是最容易出错的地方；建议在图中用记号把弧与两个角标示出来，核对无误后才写出「圆心角 = 两倍圆周角」的式子。
4. 第四步：半圆上的圆周角半圆上的圆周角定理是圆心角定理的直接推论：直径所对的圆心角是 180°，所以直径两端与圆上任何一点组成的角，即半圆上的圆周角，必然是 180° 的一半，等于 90°。解题时只要见到直径与圆上一点构成的三角形，就应立即想到该三角形是直角三角形；这个性质经常与毕氏定理一起使用，用来求第三边的长度。
5. 第五步：等弦对等弧等弦对等弧定理说明：在同一个圆（或等圆）中，两条弦相等，若且唯若它们所对的弧相等，同时两弦的弦心距（圆心到弦的垂直距离）也相等。应用时可写「等弦对等弧」或反过来「等弧对等弦」，方向视乎已知与所求。要注意弧有优弧与劣弧之分，引用定理时一般取同类的弧作比较；证明题中应先说明两弦在同一个圆内，然后才引用定理。
6. 第六步：圆心至弦的垂线平分弦由圆心作垂直线落在一条弦上，该垂线必定平分这条弦，同时也平分弦所对的弧。这个性质常用来求弦长或弦心距：设半径为 r、弦心距为 d、半弦长为 a，则 r² = d² + a²，正好是毕氏定理的应用。易错之处是忘记垂线平分的是半条弦，代入时误用整条弦长；正确做法是先把弦长除以 2，才放进毕氏定理的方程。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 直径 = 2 × 半径
• 圆周 = 2πr，面积 = πr²
• 圆心角 = 2 × 同弧圆周角
• 直径对的圆周角 = 90°
• 圆心垂直弦一定平分弦