基本三角学
基础学会正弦、余弦、正切，会用 30° 45° 60° 特殊角。
学完呢课，你会识：
- 直角三角形先可以用三角比
- SOHCAHTOA：Sin=对/斜，Cos=邻/斜，Tan=对/邻
- 斜边最长，对直角
1重点摘要 Summary
学会正弦、余弦、正切，会用 30° 45° 60° 特殊角。
2生字卡 Vocabulary
S
Sine正弦
sin θ = 对边 / 斜边。
C
Cosine余弦
cos θ = 邻边 / 斜边。
T
Tangent正切
tan θ = 对边 / 邻边。
O
Opposite对边
对著角 θ 那边。
A
Adjacent邻边
和角 θ 相邻那一边（不是斜边）。
H
Hypotenuse斜边
最长那边，对直角。
S
Special angles特殊角
30°、45°、60°，有精确值。
S
SOHCAHTOA三角口诀
Sin=对/斜，Cos=邻/斜，Tan=对/邻。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：认识直角三角形直角三角形是有一个内角等于 90° 的三角形，其中最长的一边称为斜边，它必定对著直角。其余两条边的名称并不固定，要视乎我们选择哪一个锐角来讨论：对著该角的一边称为对边，与该角相邻的一边称为邻边。初学者常见的错误，是忘记了对边与邻边会随所选的角改变，所以必须先明确指出角 θ，然后才命名两条边。
- 第二步：SOHCAHTOA 口诀三角比有三条基本公式：正弦 sin θ = 对边/斜边，余弦 cos θ = 邻边/斜边，正切 tan θ = 对边/邻边。口诀 SOHCAHTOA 把三组字首串连起来，帮助记忆。要留意三条公式都是两边相除的比，所以只要知道任意两边，或一边一角，就能建立方程。易错之处是把对边与邻边调转，令 sin 与 cos 用错，动笔前应先标明三边名称。
- 第三步：确定对边与邻边解题前先在图中标出角 θ，然后命名三边：斜边永远对著直角，位置不变；对边是正对著 θ 的那一条；邻边是与 θ 相接且不是斜边的一条。若题目改问另一个锐角，对边与邻边就会互换，这是最常见的失分位。建议用铅笔在图上轻轻标记 H、O、A 三个字母，代入公式前再核对一次，可大幅减少错误。
- 第四步：选用合适的三角比选择三角比的方法，是观察题目已知哪两边、要求哪一边：已知斜边与对边就用 sin，已知斜边与邻边就用 cos，已知对边与邻边就用 tan。原则是方程中只可以有一个未知数，若公式内出现两个未知边，即表示选错了比。遇到角度未知而两边已知的情况，同样按此原则选比，然后用反三角函数求角，例如 θ = sin⁻¹(对边/斜边)。
- 第五步：背熟特殊角数值30°、45°、60° 的三角比必须背熟：sin 30° = 12，cos 30° = √32，tan 30° = 1/√3；sin 45° = cos 45° = √22，tan 45° = 1；sin 60° = √32，cos 60° = 12，tan 60° = √3。记忆时可用 30-60-90 与 45-45-90 两种特殊直角三角形自行推导，理解后即使忘记也能重推。考试常要求以根式作答，不要过早化成小数，以免损失准确度。
- 第六步：建立方程求未知边求未知边时，先选定合适的三角比，写出例如 sin 30° = 对边/斜边的方程，再把已知数值代入，最后移项求解。整个过程必须保持足够位数的中间值，通常保留四位小数，或直接用计数机的记忆功能，到最后一步才四舍五入至题目要求的准确度。常见错误是过早舍入，令最终答案偏差超出容许范围而被扣分。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
例：在直角三角形中，角 θ = 30°，斜边 = 10，求对边的长度，并说明每一步的依据。
- 先确认已知条件：已知斜边为 10，要求对边，两者正好是正弦定义中的分母与分子，所以选用 sin 函数。
- 写出定义方程 sin 30° = 对边/斜边，依据是正弦比的定义：对边与斜边之比。
- 代入 sin 30° = 12 与斜边 10，得 12 = 对边/10，两边同时乘以 10（依据等式性质），得对边 = 10 × 12 = 5。
- 检查结果：在 30-60-90 三角形中，30° 的对边应为斜边的一半，5 正好等于 10 的一半，答案合理。
- 答案：对边的长度是 5。整题的关键在于确认已知一边与未知一边的组合，选用正确的三角比，再由特殊角 sin 30° = 12 建立方程求解，最后用 30-60-90 三角形的性质检验答案是否合理，这个流程适用于所有直角三角形的求边问题。
6常见错误 Mistakes
✗ ✗ 对边邻边弄错
✓ ✓ 先找到角 θ，对著它的先是对边！
✗ ✗ SOHCAHTOA 记错
✓ ✓ Sin=对/斜，Cos=邻/斜，Tan=对/邻！
✗ ✗ 特殊角值乱背
✓ ✓ 30° 60° 互换，sin30 = cos60 = 12！
✗ ✗ 求斜边乘除调转：sin 30° = 5/斜边，写成斜边 = 5 × sin 30° = 2.5
✓ ✓ 5 是分子，斜边是分母：斜边 = 5 ÷ sin 30° = 10。斜边一定是最长，计到 2.5 比对边 5 还短，即刻知错！
75 题快测 Quick check
Q1sin θ = ?
答案 Answer：对边 / 斜边
你答对吗？
Q2tan 45° = ?
答案 Answer：1
你答对吗？
Q3最长边叫？
答案 Answer：斜边
你答对吗？
Q4cos 30° = ?
答案 Answer：√32
你答对吗？
Q5tan θ = ?
答案 Answer：对边 / 邻边
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 直角三角形先可以用三角比
- SOHCAHTOA：Sin=对/斜，Cos=邻/斜，Tan=对/邻
- 斜边最长，对直角
- 特殊角：30° 45° 60° 要记住值
- 看已知和未知边，选用哪个三角比