函數與圖像：二次函數的模樣
中等f(x) 只是代入遊戲；y=a(x-h)²+k 的開口方向、頂點、與 x 軸交點——讀懂二次函數圖像的三大密碼。
學完呢課，你會識：
- f(x) 是代入遊戲：負數要加括號。
- 開口方向看 a：正上負下。
- 頂點 (-b2a, f(-b2a))——最值應用題的答案。
文體小知識：函數與圖像——對應 DSE 核心單元「函數及圖像」：由代入求值到二次函數圖像，是 DSE 卷二高頻考點。
1重點摘要 Summary
f(x) 只是代入遊戲；y=a(x-h)²+k 的開口方向、頂點、與 x 軸交點——讀懂二次函數圖像的三大密碼。
2生字卡 Vocabulary
F
Function函數
輸入 x 按規則輸出唯一值的關係，記作 f(x)。
P
Parabola拋物線
二次函數 y=ax²+bx+c 的圖像形狀。
V
Vertex頂點
拋物線的最高點或最低點，坐標 (-b2a, f(-b2a))。
D
Discriminant判別式
Δ=b²-4ac——判斷圖像與 x 軸交點數目。
A
Axis of symmetry對稱軸
穿過頂點的垂直線 x=-b2a，左右對稱。
x
x-interceptx 軸截距
圖像與 x 軸的交點，即方程的實根。
T
Transformation圖像變換
平移或翻轉圖像：f(x)+k 上移、f(x-h) 右移。
M
Maximum value最大值
開口向下時頂點的 y 值——應用題的答案。
3逐步講解 Steps
- 步驟 1：函數記號 f(x) 是代入遊戲函數記號 f(x) 的意思是把括號內的數值代入式子右邊的 x。例如 f(x) = 2x - 3 時，f(4) = 2 × 4 - 3 = 5，而 f(-1) = 2 × (-1) - 3 = -5。再如 f(x) = x² + 1，求 f(-2) 時要先寫 (-2)² + 1 = 5，負數平方必須先加括號，否則容易誤算成 -4。代入是函數一切運算的基礎，圖像上每一點 (c, f(c)) 都是由這個動作產生的，必須熟練。
- 步驟 2：開口方向由 a 的正負決定二次函數 y = ax² + bx + c 的圖像是拋物線，開口方向完全由 a 的正負決定：a > 0 時開口向上，形狀像碗，頂點是全函數的最小值；a < 0 時開口向下，形狀像傘，頂點是最大值。例如 y = -3x² + 2x - 1 中 a = -3 < 0，所以開口向下，頂點就是最大值點。此外 a 的絕對值越大，拋物線越窄，比較兩條拋物線的形狀時會用到這一點。
- 步驟 3：頂點公式與最大最小值頂點的 x 坐標有固定公式 x = -b/(2a)，把這個 x 代入函數便得到 y 坐標。例如 y = x² - 6x + 5：x = -(-6)/(2 × 1) = 3，y = 3² - 6 × 3 + 5 = -4，所以頂點是 (3, -4)，也是全函數的最小值。應用題問最低成本、最大利潤或最高高度時，答案就是這個頂點的 y 值；求出頂點後記得檢查 a 的正負，確認它是最大值還是最小值，不要只寫坐標。
- 步驟 4：用判別式預言與 x 軸的交點判別式 Δ = b² - 4ac 決定拋物線與 x 軸的關係：Δ > 0 時有兩個交點，Δ = 0 時只有一個交點，拋物線與 x 軸相切，Δ < 0 時沒有交點，整條曲線完全在 x 軸上方或下方。例如 y = x² + 2x + 5 的 Δ = 2² - 4 × 1 × 5 = -16 < 0，所以圖像與 x 軸完全沒有接觸。畫草圖之前先算判別式，可以避免畫出與事實矛盾的圖像，這是檢查草圖的第一步。
- 步驟 5：圖像變換的規律把 y = x² 這類基本拋物線平移或翻轉時有固定規律：f(x) + k 把整條曲線向上移 k 格，k 為負數則向下；f(x - h) 向右移 h 格，因為 x 要比原來大 h 才得到相同的輸出，這是最容易記反的一條；-f(x) 把圖像上下翻轉，開口方向隨之改變。例如 y = (x - 2)² + 1 是 y = x² 向右移 2 格再向上移 1 格，頂點由原點變成 (2, 1)，答題時可直接讀出頂點。
- 步驟 6：描述二次圖像的三步框架描述二次函數圖像時按固定次序作答，可以覆蓋所有評分點：第一步講開口方向，由 a 的正負決定；第二步求頂點與對稱軸，對稱軸是直線 x = -b/(2a)；第三步講與坐標軸的交點，與 y 軸交點是 (0, c)，與 x 軸交點的個數用判別式判斷。三步都齊全，描述題便有完整框架，不會漏掉任何一個可以取得的分數，也讓閱卷員一眼看到全部要點。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
示範：求 y = -2x² + 8x + 1 的開口方向、頂點與最大值，並判斷與 x 軸交點的個數。
- 第一步：判斷開口方向：a = -2 < 0，拋物線開口向下，形狀像傘，因此頂點是整條圖像的最高點，函數有最大值而沒有最小值。
- 第二步：求頂點的 x 坐標：用公式 x = -b/(2a) = -8/(2 × (-2)) = 2；分母中的負號要先處理，得出對稱軸為直線 x = 2。
- 第三步：把 x = 2 代入求 y 坐標：y = -2 × 2² + 8 × 2 + 1 = -8 + 16 + 1 = 9，所以頂點是 (2, 9)，這個 y 值同時就是函數的最大值。
- 第四步：計算判別式：Δ = 8² - 4 × (-2) × 1 = 64 + 8 = 72 > 0，所以拋物線與 x 軸有兩個交點，草圖應畫成穿過 x 軸兩次的向下曲線。
- 答案：結論：因為 a = -2 < 0，拋物線開口向下；頂點位於 (2, 9)，最大值是 9；對稱軸是直線 x = 2；判別式 Δ = 72 > 0，所以與 x 軸有兩個交點。答題次序建議固定為先判開口、再求頂點、最後用判別式，三步各自對應描述題的一個評分點，寫齊便不會漏分。若題目進一步問函數在哪些地方遞增或遞減，可用對稱軸 x = 2 作答：對稱軸左邊函數遞增，右邊遞減，這是開口向下拋物線的固定性質。
6常見錯誤 Mistakes
✗ 代入負數時不加括號：f(-2)=2×-2²
✓ f(-2)=2(-2)²=2(4)=8——先平方再乘，括號不能省。
✗ 頂點公式記反：x=b2a
✓ 正確是 x=-b2a——記例子：y=x²-6x+5 頂點在 x=3（正數），用 -b2a 才對。
✗ 步驟 5 變換記反：f(x-h) 以為左移
✓ f(x-h) 向右移——『x 減 h 右移』；畫圖驗證最穩陣。
✗ 以為 Δ<0 表示無實根＝錯誤
✓ Δ<0 是正常的：圖像不碰 x 軸，方程只有虛根——描述圖像時照實講。
75 題快測 Quick check
Q1y=ax²+bx+c 開口向下的條件？
答案 Answer：a<0——頂點是最大值。
你答對嗎？
Q2頂點的 x 坐標公式？
答案 Answer：x=-b2a。
你答對嗎？
Q3Δ=0 時圖像與 x 軸有何關係？
答案 Answer：相切——只有一個交點。
你答對嗎？
Q4y=f(x)+3 的圖像如何變換？
答案 Answer：向上移 3 格。
你答對嗎？
Q5y=x²-6x+5 的最小值是多少？
答案 Answer：-4（頂點 (3,-4)）。
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- f(x) 是代入遊戲：負數要加括號。
- 開口方向看 a：正上負下。
- 頂點 (-b2a, f(-b2a))——最值應用題的答案。
- 判別式預言交點：正二、零一、負無。
- 變換口訣：+k 上移、-h 右移、負號翻轉。