線性規劃：限制下的最優選擇
中等把限制畫成陰影區域，最優答案永遠藏在角點——線性規劃三步搞定生產決策。
學完呢課，你會識：
- 三步框架：設變數寫限制→畫可行域→角點代入目標函數。
- 最優解永遠在角點——數學定理，不必逐點試。
- x≥0, y≥0 不要漏——變數是數量。
文體小知識：續不等式與線性規劃——對應 DSE 核心單元：在限制下找最優解，商業與工程每天都在用的數學。
1重點摘要 Summary
把限制畫成陰影區域，最優答案永遠藏在角點——線性規劃三步搞定生產決策。
2生字卡 Vocabulary
C
Constraint限制條件
資源或規則的不等式，例如 2x+y≤100。
F
Feasible region可行域
所有不等式重疊的陰影區域——可行方案的集合。
O
Objective function目標函數
要最大化或最小化的式子，例如利潤 P=3x+2y。
C
Corner point角點
可行域的頂點——最優解必在角點。
O
Optimal solution最優解
代入目標函數後得出最大（或最小）值的角點。
S
Simultaneous inequalities聯立不等式
多個不等式同時成立——畫圖時逐一處理。
T
Test point測試點
判斷不等式畫哪一邊用的代入點，常用 (1,1) 或原點。
L
Linear線性
式子只有 x、y 的一次項——圖像是直線。
3逐步講解 Steps
- 步驟 1：設變數並寫出限制條件線性規劃的第一步永遠是設變數，例如設 x 為 A 產品的數量、y 為 B 產品的數量，然後把文字題轉寫成不等式：「每件 A 需要 2 小時、每件 B 需要 1 小時，機器最多可用 100 小時」寫成 2x + y ≤ 100。千萬不要忘記 x ≥ 0 與 y ≥ 0，因為產品數量不可能是負數；漏寫這兩條，可行域會錯誤地延伸到負半軸，之後求出的角點與答案全部作廢。
- 步驟 2：畫直線並判斷陰影方向每條不等式先當作等式畫出邊界直線，例如 2x + y = 100 可取 (50, 0) 與 (0, 100) 兩點連線。然後用測試點判斷要塗哪一邊，原點是最方便的測試點：代入得 2 × 0 + 0 = 0 ≤ 100 成立，所以塗原點所在的一邊；若不成立就塗另邊，這個方法對 ≤ 與 ≥ 都適用。另外要留意線型：不等號包含等號時邊界畫實線，不包含等號時畫虛線，虛線表示邊界上的點不屬於解。
- 步驟 3：找出可行域與角點所有不等式的陰影互相重疊的部分就是可行域，代表同時滿足全部限制的所有方案。角點是可行域邊界直線的交點，用聯立方程求得，例如 2x + y = 100 與 x + y = 60 相減得 x = 40，代回得 y = 20，角點便是 (40, 20)。把每個角點都求出來並標記在圖上，因為最優解必定在角點之中出現，漏求一個角點，答案便可能不是真正的最大值或最小值。
- 步驟 4：把角點代入目標函數把每一個角點代入目標函數，例如 P = 3x + 2y，逐一計算數值：(0, 0) 得 0，(50, 0) 得 150，(40, 20) 得 160，(0, 60) 得 120。線性規劃的基本定理保證最大值或最小值必在角點取得，所以只需比較這幾個數值：最大是 160，對應最優解 (40, 20)。計算時建議列表整理各角點的函數值，避免把某個數值抄錯或漏算某個角點，列表也方便閱卷員跟進。
- 步驟 5：檢查整數限制如果變數代表可以逐件點算的物件，例如產品的件數，最優解就必須是整數。若最佳角點的坐標不是整數，例如出現 8.5 這樣的數值，就要檢查可行域內最接近的整數點，重新代入目標函數比較大小。這是文憑試常見的陷阱：角點本身不合法，但相鄰的整數點可能仍在可行域內，哪一個更優必須計算才知道，不能靠估計，答題時要把這個檢查過程清楚寫出來。
- 步驟 6：用文字寫出結論計算完成後，必須用一句完整的文字回應題目，例如：「應生產 A 產品 40 件、B 產品 20 件，最大利潤為 160 元。」只寫坐標 (40, 20) 與數字 160 而不作說明，會失去表達分，因為數學應用題的最後一步是向題目的情境交代答案。結論中要把變數名稱、數量與目標函數的最大值全部講清楚，讓閱卷員不必猜測，這也是完整解題的標誌。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
示範：工廠生產桌與椅。每張桌賺 $300，用 4 小時與 2 單位木料；每張椅賺 $200，用 2 小時與 2 單位木料。工時上限 40 小時，木料上限 24 單位，求最大利潤。
- 第一步：設變數並列限制：設桌 x 張、椅 y 張，工時限制為 4x + 2y ≤ 40，木料限制為 2x + 2y ≤ 24，再加上 x ≥ 0 與 y ≥ 0，四條限制缺一不可。
- 第二步：畫邊界線找角點：4x + 2y = 40 通過 (10, 0) 與 (0, 20)；2x + 2y = 24 通過 (12, 0) 與 (0, 12)。兩線交點用相減求得：2x = 16，即 x = 8、y = 4，角點是 (8, 4)。
- 第三步：列出全部角點並代入利潤 P = 300x + 200y：可行域角點有 (0, 0)、(10, 0)、(8, 4)、(0, 12)，數值分別是 0、3000、3200、2400，其中以 (8, 4) 的 3200 最大。
- 第四步：驗證與結論：把 (8, 4) 代回限制，工時 4 × 8 + 2 × 4 = 40 正好用盡，木料 2 × 8 + 2 × 4 = 24 也正好用盡，兩種資源都沒有浪費，符合最優解的特徵，因此應生產桌 8 張、椅 4 張。
- 答案：結論：工廠應生產桌 8 張、椅 4 張，最大利潤為 $3200。解題完整使用了線性規劃的四步：設變數與限制、畫可行域、求角點、代入目標函數比較。值得留意的是，最優角點 (8, 4) 令工時與木料兩項資源同時用盡，這是資源限制繃緊的典型訊號；若某項資源在最優解仍有剩餘，通常表示該限制並不影響當前的最優決策。這個觀察可以作為檢查答案合理性的旁證，也能幫助判斷計算過程有沒有出錯。
6常見錯誤 Mistakes
✗ 忘記 x≥0, y≥0
✓ 變數是產品數量——負數無意義。沒有這兩條，可行域會無限大。
✗ 測試點選錯邊
✓ 用原點代入不等式：成立就畫原點那邊，不成立就畫另邊——畫完抽一個可行點驗證。
✗ 只答角點座標
✓ 要代入目標函數求值＋文字結論——兩樣都齊才完整。
✗ 整數題目交非整數答案
✓ 生產件數必須整數——最優角點非整數時，檢查最近的可行整數點。
75 題快測 Quick check
Q1線性規劃的最優解在哪裡？
答案 Answer：可行域的角點（頂點）。
你答對嗎？
Q2判斷不等式畫哪一邊的方法？
答案 Answer：用測試點（如原點）代入：成立就畫該側。
你答對嗎？
Q3可行域是什麼？
答案 Answer：所有不等式的陰影重疊區域——可行方案的集合。
你答對嗎？
Q4兩條邊界直線的交點如何求？
答案 Answer：解聯立方程。
你答對嗎？
Q5計完角點後還要做什麼？
答案 Answer：代入目標函數比較，再用文字寫結論。
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 三步框架：設變數寫限制→畫可行域→角點代入目標函數。
- 最優解永遠在角點——數學定理，不必逐點試。
- x≥0, y≥0 不要漏——變數是數量。
- 整數限制題要檢查最近整數點。
- 文字結論不可少：答題回應題目先完整。