因式分解

1重點摘要 Summary

將多項式拆成乘積形式，學提取公因式和十字相乘法。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：先提取公因式因式分解的第一步永遠是觀察各項有沒有公因式，包括數字的公因數與字母的公因式，一經發現便先全部提出。例如 2x² + 4x 中每一項都有 2 與 x，提出後得 2x(x + 2)。先提公因式的好處是讓餘下的式子變得簡單，令後面的十字相乘更容易；漏提公因式是常見錯誤，例如把 2x² + 4x 直接當成 x² + 2x 來處理，得到的答案就不完整，會被扣分。
2. 第二步：認識二次三項式二次三項式是指 x² + ax + b 的形式，共有三項，最高次數是二次。因式分解的目標是把它寫成兩個一次式的積，即 (x + m)(x + n)。展開 (x + m)(x + n) 可得 x² + (m + n)x + mn，比較係數便知道 m + n = a 以及 mn = b。理解這個對應關係之後，十字相乘就不再是背口訣，而是有根據的推理，遇到任何二次三項式都能冷靜處理。
3. 第三步：十字相乘法的原理十字相乘法的任務是尋找兩個數 m 與 n，使它們的積等於常數項 b，並且它們的和等於一次項係數 a。兩個條件缺一不可：積對應展開後的 mn 項，和對應展開後的 (m + n)x 項。解題時先把兩個條件寫清楚，例如分解 x² + 5x + 6 時寫出積為 6、和為 5，目標明確之後才開始試數，可以避免毫無方向的亂試，節省時間。
4. 第四步：有系統地試數列出所有相乘等於 b 的整數對，再逐一檢查哪一對的和等於 a。以 b = 6 為例，整數對有 (1, 6) 與 (2, 3)，它們的和分別是 7 與 5，因此選 2 與 3。注意當 b 是負數時，兩數必定一正一負；當 b 是正數而 a 是負數時，兩數都是負數。有系統地按順序列出所有數對，就不會重複或遺漏，這是找數最快而不出錯的方法。
5. 第五步：寫出分解結果找到合適的 m 與 n 之後，把原式寫成 (x + m)(x + n)。以 x² + 5x + 6 為例，因為 2 與 3 符合條件，所以 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。書寫時兩個括號的次序可以對調，因為乘法滿足交換律；但每一項的正負號不可以寫錯，若 m 與 n 都是負數，括號內要寫成 (x - 2)(x - 3) 的形式，符號與數值要一同寫對。
6. 第六步：展開驗算分解完成後，把答案重新展開一次，確認能還原為原式才算成功。例如 (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，與原式完全相同。驗算只需要十幾秒，卻能攔截絕大部分的找數錯誤與符號錯誤；若展開後與原式不符，通常是一次項係數對不上，應回到第四步重新檢查兩數的和，不要勉強交卷，更不要把錯的答案留下。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 因式分解就是展開相反
• 先提取公因式，再拆二次三項式
• 十字相乘法：找兩數相乘 = b，相加 = a
• 常數項是正數而一次項是負數，兩個數都要負
• 分解完一定要展開回驗算