多項式除法
基礎學會用長除法將多項式除以一次式，會求商同餘式。
學完呢課，你會識：
- 多項式除法就像數字長除法這樣
- 由最高次項開始除
- 每次除完乘回除式，然後減
讀呢課前，你應該識： 多項式運算
1重點摘要 Summary
學會用長除法將多項式除以一次式，會求商同餘式。
2生字卡 Vocabulary
D
Dividend被除式
被人除的多項式，例如 (x² + 3x + 2) ÷ (x + 1) 裡面 x² + 3x + 2 就是被除式。
D
Divisor除式
用來除的式，例如 (x + 1) 就是除式。
Q
Quotient商
除出來的答案，例如 (x² + 3x + 2) ÷ (x + 1) = x + 2，x + 2 就是商。
R
Remainder餘式
除不盡剩低的東西，次數一定比除式小。
L
Long division長除法
就像數字長除法這樣，一步步除下去。
D
Divide除以
將一個式分成幾份。
L
Leading term最高次項
次數最高那項，例如 3x² + 2x + 1 裡面 3x² 就是最高次項。
C
Constant remainder常數餘式
餘式是一個常數，沒有 x。
3逐步講解 Steps
- 第一步：寫出長除式的格式多項式長除法的格式與數字長除法相同：被除式寫在長除號內，除式寫在外面，兩者都按次數由高至低排列。若被除式中間缺少某個次方的項，必須補上係數為 0 的項，例如把 x³ - 1 寫成 x³ + 0x² + 0x - 1。補項是整個方法的基礎，漏補會令後面帶下來的項錯位，加減時次數對不齊，這是長除法最常見的失分原因，動筆前一定要先檢查各次方的項是否齊全。
- 第二步：以最高次項相除求商的首項比較被除式與除式的最高次項：把被除式的最高次項除以除式的最高次項，結果就是商的第一項，例如 x³ 除以 x 得 x²，商的首項便是 x²。這樣做的原理是讓下一步的乘積剛好消去被除式的最高次項，所以每一輪只需要考慮最高次項。法則是係數相除、次數相減，例如 2x³ ÷ x = 2x²，初學者常常忘記係數也要一起相除而誤寫成 x²，務必小心。
- 第三步：乘回除式並相減把商的首項乘回整條除式，將乘積寫在被除式下方，對齊相同次數的項，然後用被除式減去這條乘積。例如商的首項是 x²、除式是 x + 1 時，乘積為 x³ + x²，相減時兩項的符號都要改變。相減的目的是消去被除式的最高次項，所以減完後餘式的次數必定下降一次；若次數沒有下降，多半是相減時符號出錯，這是最好的即時檢查點，應養成習慣。
- 第四步：把下一項帶下來繼續除相減完成後，把被除式中下一個尚未處理的項帶下來，與剛才的餘式合在一起，繼續用同樣方法除以除式的最高次項。帶項時符號必須一併帶下，例如帶 -3x 就要保持負號。這一步常因為心急而漏帶常數項，建議每帶一項就在原式上把該項劃掉，這樣可以確保每一項都被處理過一次，不會重複，也不會遺漏，過程整齊得多。
- 第五步：重複直到餘式次數低於除式重複相除、相乘、相減、帶下這四個動作，直到餘式的次數低於除式的次數為止，因為此時已經無法再除出新的商項。例如除式是一次式時，餘式最多是常數；若最後相減得到 0，表示除式剛好整除被除式，餘式為 0。整個過程中任何一步發現次數沒有下降，都應立即回頭檢查上一步的乘積與減法，不要繼續往下寫，以免錯誤一路擴大。
- 第六步：寫出商式與餘式並驗算把過程中得到的商項全部加起來就是商式，最後餘下的式子是餘式，結果用恆等式表達：被除式 = 除式 × 商式 + 餘式。例如商式為 x + 2、餘式為 0 時，可寫成 x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)。答題後最好用這條恆等式驗算一次：把除式與商式相乘再加餘式，若結果不等於被除式，代表過程中有計算錯誤，應逐輪檢查乘積與減法的符號。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：計算 (x² + 3x + 2) ÷ (x + 1)，完整示範長除法的四步循環。
- 第一步：寫出長除格式，被除式 x² + 3x + 2 按次數由高至低排列在長除號內，除式 x + 1 寫在外面；本例二次項、一次項與常數項齊全，不需要補係數為 0 的項。
- 第二步：以最高次項相除得 x² ÷ x = x，這就是商的第一項，依據是係數相除、次數相減的法則，確保下一步的乘積能消去被除式的最高次項。
- 第三步：把 x 乘回除式得 x(x + 1) = x² + x，寫在被除式下方後相減：(x² + 3x) - (x² + x) = 2x，最高次項 x² 已被消去，餘式次數順利下降。
- 第四步：把被除式的常數項 +2 帶下來，與餘下的 2x 合成 2x + 2；帶項時符號一併帶下，此時餘式 2x + 2 的次數仍不低於除式，需要繼續除。
- 第五步：再以最高次項相除得 2x ÷ x = 2，作為商的第二項，同樣依據係數相除、次數相減的法則，這一輪的目標是消去一次項 2x。
- 第六步：把 2 乘回除式得 2(x + 1) = 2x + 2，與餘式相減得 0，說明除式可以整除被除式，餘式為 0，除法過程到此結束。
- 第七步：寫出結論：商式是 x + 2，餘式是 0，並用恆等式驗算：(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2，與被除式完全相同，證明整個除法無誤。
- 答案：(x² + 3x + 2) ÷ (x + 1) = x + 2，餘數為 0。長除法的核心是除、乘、減、帶四步循環：每輪先用最高次項相除求出商項，再乘回除式、相減以消去最高次項，然後帶下下一項繼續。驗算時使用恆等式：被除式 = 除式 × 商式 + 餘式，此處 (x + 1)(x + 2) 剛好還原被除式，確認答案正確。餘式為 0 也表示 x = -1 是被除式的根，這個結果可以與因式定理互相印證，是檢查分解是否正確的另一條路。
6常見錯誤 Mistakes
✗ ✗ 減法不改符號：(x²+3x) - (x²+x) = x²+3x - x² + x = 4x
✓ ✓ 減法要改全符號：= 3x - x = 2x
✗ ✗ 不夠次數還繼續除
✓ ✓ 餘式次數小於除式就停，不要繼續除！
✗ ✗ 商漏項
✓ ✓ 每次除出來的項都要寫回入商裡面！
✗ ✗ 有餘數就當除完：(x² + 3x + 5) ÷ (x + 1) = x + 2 + 3
✓ ✓ 餘式要除返以除式，寫做分式：= x + 2 + 3/(x + 1)。代 x = 1 驗下：原式 9 ÷ 2 = 4.5，但 x + 2 + 3 = 6，即刻知不對！
75 題快測 Quick check
Q1(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = ?
答案 Answer：x + 3
你答對嗎？
Q2長除法由哪個次數開始除？
答案 Answer：最高次項
你答對嗎？
Q3餘式次數要點？
答案 Answer：比除式次數小
你答對嗎？
Q4除完之後答案是？
答案 Answer：被除式 = 除式 × 商 + 餘式
你答對嗎？
Q5減的時候要記得？
答案 Answer：改全下面的符號
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 多項式除法就像數字長除法這樣
- 由最高次項開始除
- 每次除完乘回除式，然後減
- 餘式次數一定要小於除式
- 答案：被除式 = 除式 × 商 + 餘式