函数与图像：二次函数的模样

1重点摘要 Summary

f(x) 只是代入游戏；y=a(x-h)²+k 的开口方向、顶点、与 x 轴交点——读懂二次函数图像的三大密码。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 步骤 1：函数记号 f(x) 是代入游戏函数记号 f(x) 的意思是把括号内的数值代入式子右边的 x。例如 f(x) = 2x - 3 时，f(4) = 2 × 4 - 3 = 5，而 f(-1) = 2 × (-1) - 3 = -5。再如 f(x) = x² + 1，求 f(-2) 时要先写 (-2)² + 1 = 5，负数平方必须先加括号，否则容易误算成 -4。代入是函数一切运算的基础，图像上每一点 (c, f(c)) 都是由这个动作产生的，必须熟练。
2. 步骤 2：开口方向由 a 的正负决定二次函数 y = ax² + bx + c 的图像是抛物线，开口方向完全由 a 的正负决定：a > 0 时开口向上，形状像碗，顶点是全函数的最小值；a < 0 时开口向下，形状像伞，顶点是最大值。例如 y = -3x² + 2x - 1 中 a = -3 < 0，所以开口向下，顶点就是最大值点。此外 a 的绝对值越大，抛物线越窄，比较两条抛物线的形状时会用到这一点。
3. 步骤 3：顶点公式与最大最小值顶点的 x 坐标有固定公式 x = -b/(2a)，把这个 x 代入函数便得到 y 坐标。例如 y = x² - 6x + 5：x = -(-6)/(2 × 1) = 3，y = 3² - 6 × 3 + 5 = -4，所以顶点是 (3, -4)，也是全函数的最小值。应用题问最低成本、最大利润或最高高度时，答案就是这个顶点的 y 值；求出顶点后记得检查 a 的正负，确认它是最大值还是最小值，不要只写坐标。
4. 步骤 4：用判别式预言与 x 轴的交点判别式 Δ = b² - 4ac 决定抛物线与 x 轴的关系：Δ > 0 时有两个交点，Δ = 0 时只有一个交点，抛物线与 x 轴相切，Δ < 0 时没有交点，整条曲线完全在 x 轴上方或下方。例如 y = x² + 2x + 5 的 Δ = 2² - 4 × 1 × 5 = -16 < 0，所以图像与 x 轴完全没有接触。画草图之前先算判别式，可以避免画出与事实矛盾的图像，这是检查草图的第一步。
5. 步骤 5：图像变换的规律把 y = x² 这类基本抛物线平移或翻转时有固定规律：f(x) + k 把整条曲线向上移 k 格，k 为负数则向下；f(x - h) 向右移 h 格，因为 x 要比原来大 h 才得到相同的输出，这是最容易记反的一条；-f(x) 把图像上下翻转，开口方向随之改变。例如 y = (x - 2)² + 1 是 y = x² 向右移 2 格再向上移 1 格，顶点由原点变成 (2, 1)，答题时可直接读出顶点。
6. 步骤 6：描述二次图像的三步框架描述二次函数图像时按固定次序作答，可以覆盖所有评分点：第一步讲开口方向，由 a 的正负决定；第二步求顶点与对称轴，对称轴是直线 x = -b/(2a)；第三步讲与坐标轴的交点，与 y 轴交点是 (0, c)，与 x 轴交点的个数用判别式判断。三步都齐全，描述题便有完整框架，不会漏掉任何一个可以取得的分数，也让阅卷员一眼看到全部要点。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• f(x) 是代入游戏：负数要加括号。
• 开口方向看 a：正上负下。
• 顶点 (-b2a, f(-b2a))——最值应用题的答案。
• 判别式预言交点：正二、零一、负无。
• 变换口诀：+k 上移、-h 右移、负号翻转。