多項式運算
基礎認識多項式，學會加、減、和乘法運算。
學完呢課，你會識：
- 多項式由幾個項組成，每項有係數和次數
- 只有同類項先可以合併
- 減法要記得更改第二個括號裡面的符號
1重點摘要 Summary
認識多項式，學會加、減、和乘法運算。
2生字卡 Vocabulary
P
Polynomial多項式
由常數和變數加減乘組成的式子，例如 3x² + 2x - 5。
T
Term項
多項式裡面每一個加減單位，例如 3x²、2x、-5 都是項。
C
Coefficient係數
變數前面的數字，例如 3x² 裡面 3 就是係數。
C
Constant常數
不含變數的項，例如 -5 就是常數項。
D
Degree次數
最高次冪，例如 3x² + 2x - 5 次數是 2。
L
Like terms同類項
變數和次數都相同的項，可以合併。
E
Expand展開
將括號拆開，例如 (x+1)(x+2) = x²+3x+2。
S
Simplify化簡
合併同類項，將式子變到最簡。
3逐步講解 Steps
- 第一步：認識多項式的結構多項式是由若干個項以加減號連接而成的代數式，每一項都有係數、變數和次數三個要素。以 3x² + 2x - 5 為例：3x² 是二次項，係數為 3；2x 是一次項；-5 是不含變數的常數項。整條多項式的次數以最高次項為準，因此它是二次多項式。初學者容易遺漏常數項，或以為 x² 沒有係數，其實此時係數是 1，這些細節在判斷次數與化簡時都很關鍵。
- 第二步：同類項的意義與合併同類項是指變數部分完全相同的項，即字母相同並且對應次數也相同。加減多項式時，只有同類項才能合併：3x² + 2x² = 5x²，因為兩項都是二次項，係數可以直接相加；但 3x² 與 2x 次數不同，所以不能合併。合併的方法是把係數相加減，變數部分保持不變。常見錯誤是把 x² 與 x 當成同類項而錯誤相加，落筆前應先圈出各項的變數部分逐項核對。
- 第三步：多項式加法多項式相加時，先去掉括號，再合併同類項。例如 (3x² + 2x - 1) + (x² - 3x + 2)：去括號得 3x² + 2x - 1 + x² - 3x + 2，其中 3x² 與 x² 合併為 4x²，2x 與 -3x 合併為 -x，-1 與 2 合併為 1，答案是 4x² - x + 1。由於括號前的加號不會改變括號內各項的符號，加法的錯誤主要來自漏項，建議按次數由高至低逐項核對一次才作答。
- 第四步：多項式減法：先變符號減去一條多項式時，必須先把減號後面括號內每一項的符號全部改變，然後才去括號合併同類項。例如 (3x² + 2x - 1) - (x² - 3x + 2) = 3x² + 2x - 1 - x² + 3x - 2，合併得 2x² + 5x - 3。最容易出錯的地方是只改變第一項的符號，忽略了 -3x 要變成 +3x、+2 要變成 -2；建議每改一項就在該項下方記一個記號，確保全部處理過才開始合併。
- 第五步：多項式乘法：分配律兩個多項式相乘，要用分配律把第一條式的每一項分別乘以第二條式的每一項，再把所有乘積合併。以 (x + 2)(x + 3) 為例：x 乘以 x 得 x²，x 乘以 3 得 3x，2 乘以 x 得 2x，2 乘以 3 得 6，合併同類項後是 x² + 5x + 6。法則是係數與係數相乘、次數相加，例如 2x × 3x = 6x²。初學者常漏乘其中一項，可以畫格子或在每個乘積下方打點，確保四個乘積全部出現。
- 第六步：化簡與檢查的習慣完成乘法後，最後一步是把同類項合併，將答案化至最簡，並按次數由高至低排列。例如得到 3x² + 2x + 5x + 6 時，應合併為 3x² + 7x + 6 才算完成。檢查有兩個方法：一是逐項確認沒有遺漏任何乘積，二是代入簡單數值驗算，例如令 x = 1，比較原式與答案的數值是否相同。養成這個驗算習慣，可以避免大部分可以補救的計算失分。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：化簡 (2x + 3)(x - 4)，完整示範分配律展開、合併同類項與驗算的過程。
- 第一步：用分配律展開，把 (2x + 3) 的每一項分別乘以 (x - 4) 的每一項：2x·x + 2x·(-4) + 3·x + 3·(-4)，依據是乘法分配律，先列齊四個乘積，避免漏乘。
- 第二步：逐項計算乘積：2x·x = 2x²，2x·(-4) = -8x，3·x = 3x，3·(-4) = -12，得到 2x² - 8x + 3x - 12，特別留意負數與正數相乘時符號要取負。
- 第三步：合併同類項：-8x 與 3x 是同類項，係數相加得 -5，所以兩項合併為 -5x；2x² 與 -12 沒有同類項，保持不變。
- 第四步：按次數由高至低寫出答案 2x² - 5x - 12，並代入 x = 1 驗算：原式 (2 + 3)(1 - 4) = -15，答案 2 - 5 - 12 = -15，兩邊相同，確認無誤。
- 答案：(2x + 3)(x - 4) = 2x² - 5x - 12。整個過程分三層：先用分配律寫出全部四個乘積，再逐項處理符號，最後合併同類項並按次數排列。用 x = 1 代入驗算，原式與答案同為 -15，證明展開無誤。這套展開、計積、合併、驗算的流程適用於任何兩個一次式相乘，考試時按固定次序書寫，條理清楚又不易漏項。
6常見錯誤 Mistakes
✗ ✗ 減法不改符號：(3x² + 2x) - (x² - 3x) = 2x² - x
✓ ✓ 減法要改全符號：= 3x² + 2x - x² + 3x = 2x² + 5x
✗ ✗ 乘法漏項：(x+2)(x+3) = x² + 6
✓ ✓ 每一項都要乘：= x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
✗ ✗ 合併不同類項：3x² + 2x = 5x³
✓ ✓ 不同類項不可以合併！3x² + 2x 已經是最簡。
✗ ✗ 負負得正沒有用上：(x - 3)(x - 5) = x² - 8x - 15
✓ ✓ 尾項是 (-3) × (-5) = +15，應該是 x² - 8x + 15。兩個括號都是減數：中間項負、尾項正，符號不要一路負到底！
75 題快測 Quick check
Q13x² + 5x² = ?
答案 Answer：8x²
你答對嗎？
Q2(x + 1)(x + 2) = ?
答案 Answer：x² + 3x + 2
你答對嗎？
Q3(5x + 3) - (2x - 1) = ?
答案 Answer：3x + 4
你答對嗎？
Q4多項式 2x³ - 5x + 1 的次數是？
答案 Answer：3
你答對嗎？
Q5下面哪個是同類項？3x², 2x, 5x²
答案 Answer：3x² 和 5x²
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 多項式由幾個項組成，每項有係數和次數
- 只有同類項先可以合併
- 減法要記得更改第二個括號裡面的符號
- 乘法要用分配律，每一項都要乘到
- 做完記得合併同類項，化簡答案