一元二次方程
基礎學會解一元二次方程，用因式分解法和公式法。
學完呢課，你會識：
- 一元二次方程最高次數是 2
- 先整理成 ax² + bx + c = 0
- 可以因式分解就用因式分解法
讀呢課前，你應該識： 因式分解
1重點摘要 Summary
學會解一元二次方程，用因式分解法和公式法。
2生字卡 Vocabulary
Q
Quadratic equation一元二次方程
最高次數是 2 的方程，例如 x² + 5x + 6 = 0。
R
Root根
方程的答案，令方程等於 0 的 x 值。
S
Solve解方程
找出方程的所有根。
F
Factorisation method因式分解法
將方程左邊分解因式，然後每個因式等於 0 解。
Q
Quadratic formula二次方程公式
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，是通用解方程方法。
D
Discriminant判別式
b² - 4ac，用來判斷有多少個實根。
T
Two roots兩個根
二次方程通常有兩個答案。
Z
Zero product零乘積性質
如果 A × B = 0，這樣 A = 0 或者 B = 0。
3逐步講解 Steps
- 第一步：寫成標準式解一元二次方程的第一步，是把方程整理成標準式 ax² + bx + c = 0，其中 a 不等於 0。做法是把所有項移到等號左邊，使右邊為 0，並按 x 的次數由高至低排列與合併同類項。這樣做是因為只有認清 a、b、c 三個係數，之後的因式分解與公式法才能正確代入。易錯位是移項時忘記變號。
- 第二步：嘗試因式分解第二步是嘗試因式分解，先觀察左邊能否拆成兩個一次式的乘積。常用方法是十字相乘：當 a = 1 時，找兩個數，其乘積等於 c 而和等於 b。能夠分解就應優先使用此法，因為它比公式法更快，而且答案不易出錯。易錯位是分解後忘記展開檢查，應展開一次確認中間項與原式相同。
- 第三步：零乘積性質第三步應用零乘積性質：若兩個數或兩個式子的乘積等於 0，則其中至少一個必為 0，即 A × B = 0 時必有 A = 0 或 B = 0。這個性質是把乘積式變成兩條一元一次方程的關鍵。使用前提是方程右邊必須已經化為 0，若右邊不是 0，此性質不成立。易錯位是直接對兩邊開方或隨意約去因式，導致漏根。
- 第四步：分開解兩條方程第四步把每個因式分別等於 0，解兩條一元一次方程，得到兩個根。例如 (x + 2)(x + 3) = 0 就分別解 x + 2 = 0 與 x + 3 = 0，得出 x = -2 或 x = -3。一元二次方程一般有兩個實數根，兩條方程都要解，不可只解一條。易錯位是移項時忘記變號。
- 第五步：不能分解時用公式若因式分解行不通，例如係數較大或根是無理數時，就用求根公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，它對任何一元二次方程都適用。代入前先確認方程已是標準式，並準確讀出 a、b、c 的正負號，根的性質由判別式 b² - 4ac 決定。易錯位是 b 或 c 為負數時代入忘記加括號。
- 第六步：驗算答案最後把兩個根分別代入原方程檢驗，確認左邊算出來的值確實等於 0。驗算能即時發現因式分解錯誤或移項變號的失誤，在考試中是避免無謂失分的低成本步驟。驗算時應代入原來的方程，而不是分解後的中間式，否則檢查不到最初的錯誤。若代入後不等於 0，就要由標準式開始逐步重新檢查。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
示例：解一元二次方程 x² + 5x + 6 = 0。
- 第一步：方程已是標準式，確認 a = 1、b = 5、c = 6，因為係數的正負必須在代入任何方法之前認清。
- 第二步：因式分解左邊，依據十字相乘法找兩個乘積為 6 且和為 5 的數，得出 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
- 第三步：應用零乘積性質，由 (x + 2)(x + 3) = 0 得出 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，因為乘積為 0 時至少一個因式為 0。
- 第四步：分別解兩條一次方程，把常數移到右邊得 x = -2 與 x = -3，依據是等式兩邊減去相等的數後仍然相等。
- 第五步：驗算，把 x = -2 代入原方程左邊，得 (-2)² + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0，依據是解必須使原方程成立。
- 答案：x = -2 或 x = -3。把兩個值分別代入原方程，左邊都等於 0，驗算成立；由於判別式為正，方程有兩個相異實數根，解集就是 x = -2 與 x = -3，兩個答案都要寫出。
6常見錯誤 Mistakes
✗ ✗ 忘記負號：(x+2)(x+3) = 0 → x = 2, x = 3
✓ ✓ x+2 = 0 → x = -2！要移項變號！
✗ ✗ 兩個根寫漏一個
✓ ✓ 二次方程通常有兩個根，不要漏！
✗ ✗ 未整理成 = 0 就直接解
✓ ✓ 一定要先將方程整理成 = 0 先解！
✗ ✗ 公式法負 b 平方變負：x² - 4x + 3 = 0，b² = (-4)² = -16
✓ ✓ 負數平方是正：b = -4，b² = (+16)，判別式 = 16 - 4(1)(3) = 4 先對。代入公式前最好先寫清楚 a、b、c 各是什麼！
75 題快測 Quick check
Q1(x-1)(x-3) = 0 的根是？
答案 Answer：x = 1 或 x = 3
你答對嗎？
Q2二次方程標準式是？
答案 Answer：ax² + bx + c = 0
你答對嗎？
Q3零乘積性質是？
答案 Answer：A × B = 0 → A=0 或 B=0
你答對嗎？
Q4x² - 4 = 0 的根是？
答案 Answer：x = 2 或 x = -2
你答對嗎？
Q5判別式是？
答案 Answer：b² - 4ac
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 一元二次方程最高次數是 2
- 先整理成 ax² + bx + c = 0
- 可以因式分解就用因式分解法
- 零乘積：A × B = 0 → A=0 或 B=0
- 分解不到就用二次方程公式