一元二次不等式
基礎學會解一元二次不等式，用開口向上/向下法。
學完呢課，你會識：
- 解不等式先解方程找根
- 看二次項正負判斷開口方向
- 開口向上：> 0 兩邊，< 0 中間
讀呢課前，你應該識： 一元二次方程
1重點摘要 Summary
學會解一元二次不等式，用開口向上/向下法。
2生字卡 Vocabulary
I
Inequality不等式
有 > < ≤ ≥ 的式子，例如 x + 2 > 5。
S
Solution解集
所有滿足不等式的 x 值。
G
Greater than大於
大過，符號 >。
L
Less than小於
小於，符號 <。
R
Roots根
等於 0 那兩個點，將數線分成三段。
O
Opening up開口向上
二次項是正數，拋物線開口向上。
I
Interval區間
兩個數之間的範圍。
N
Number line數線
一條有刻度的線，用來表示範圍。
3逐步講解 Steps
- 第一步：先解對應方程找根解一元二次不等式，先暫時把不等號當作等號，寫出對應的一元二次方程並解出兩個根。這兩個根是數線上的臨界值，因為二次式的值只在穿過根的位置才會由正變負或由負變正。求根可用因式分解或求根公式，方法與解方程完全一樣。易錯位是沒有先化成標準式就急於求根，導致係數讀錯。
- 第二步：判斷開口方向接着觀察二次項係數 a 的正負，判斷拋物線的開口方向：a 是正數時開口向上，形狀像兩端翹起的碗；a 是負數時開口向下，整個倒轉。開口方向決定了大於 0 與小於 0 的解分別落在哪一段，所以要先判斷。若已化成標準式，a 就是 x² 項的係數。易錯位是把係數符號看錯，例如把 -x² 當成 x²。
- 第三步：把兩根畫在數線上把剛才求出的兩個根畫在數線上，數線就被分成三段：兩根之左、兩根之間與兩根之右。因為二次式的正負只在根的位置改變，所以每一段內的正負號是固定的，只需在每段選一個測試點代入檢驗即可。畫端點時要看不等號是否嚴格：用大於或小於時端點畫空心圈，用大於等於時畫實心點。易錯位是把兩根位置畫反。
- 第四步：開口向上時的判斷開口向上時，拋物線兩端向上無限延伸，中間部分低於 x 軸。因此二次式大於 0 的解在兩根之外的兩側區間，小於 0 的解在兩根之間。例如 x² + 5x + 6 > 0 的解就是 x 小於較小的根或 x 大於較大的根。選測試點檢驗時，取 0 或其他簡單整數最快。易錯位是把兩側與中間記反，解集就會顛倒。
- 第五步：開口向下時的判斷開口向下時情況剛好相反：拋物線中間高於 x 軸，兩端向下延伸。因此二次式大於 0 的解在兩根之間，小於 0 的解在兩根之外的兩側。做題時不要硬背結論，先畫一個簡單的草圖，再按圖像與 x 軸的相對位置讀出解，這樣兩種情況都不會混淆。易錯位是照抄開口向上的結論，忘記隨開口方向調整。
- 第六步：寫出解集最後把所得區間寫成解集，並決定端點是否包含：不等號是大於或小於時，端點不包含，寫 x < a 或 x > b；大於等於或小於等於時，端點包含，要用大於等於號與小於等於號。若解是兩側區間，要用或字連接兩部分；中間區間則直接寫成一段。易錯位是解答大於等於型時忘記包含端點，或把兩側區間錯寫成一個區間。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
示例：解一元二次不等式 x² + 5x + 6 > 0。
- 第一步：先解對應方程 x² + 5x + 6 = 0，用十字相乘得 (x + 2)(x + 3) = 0，所以兩根是 x = -2 與 x = -3，因為 6 可拆成 2 與 3，而 2 + 3 恰為 5。
- 第二步：看二次項係數，x² 的係數是 +1，是正數，所以拋物線開口向上，依據是開口方向由二次項係數的正負決定。
- 第三步：把 -3 與 -2 畫在數線上，數線分成三段，每段各選一個測試點，例如 -4、-2.5 與 0，依據是每段內二次式的正負號固定。
- 第四步：代入檢驗各段符號，x = -4 時左邊等於 16 - 20 + 6 = 2，是正數；x = -2.5 時等於 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25，是負數，可見中段為負、兩側為正。
- 第五步：開口向上且要求大於 0，所以解在兩側區間，寫成 x < -3 或 x > -2；因為不等號是嚴格的大於，端點 -3 與 -2 不包含在解集內。
- 答案：x < -3 或 x > -2。檢驗顯示兩側區間代入後左邊為正，中間區間代入後左邊為負，加上拋物線開口向上，所以大於 0 的部分正好是兩側；又因為不等號是嚴格大於，端點不包含，解集必須用兩個區間以或字連接。
6常見錯誤 Mistakes
✗ ✗ 不記得看開口方向，一律中間
✓ ✓ 開口向上和向下是相反的！
✗ ✗ > 和 < 弄錯
✓ ✓ 開口向上：> 0 是兩邊，< 0 是中間！
✗ ✗ 除負數不轉符號
✓ ✓ 不等式兩邊乘除負數，符號要反轉！
✗ ✗ 有等號都漏端點：x² - x - 6 ≥ 0 解成 x < -2 或 x > 3
✓ ✓ ≥ / ≤ 要包含端點：x ≤ -2 或 x ≥ 3；純 > / < 才是不包！寫解集前望一望有沒有等號。
75 題快測 Quick check
Q1x² + 5x + 6 < 0 的解集是？
答案 Answer：-3 < x < -2
你答對嗎？
Q2二次項是正數，開口？
答案 Answer：向上
你答對嗎？
Q3開口向上，> 0 是？
答案 Answer：兩邊
你答對嗎？
Q4不等式兩邊乘負數要？
答案 Answer：反轉符號
你答對嗎？
Q5解集用什麼表示？
答案 Answer：區間
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 解不等式先解方程找根
- 看二次項正負判斷開口方向
- 開口向上：> 0 兩邊，< 0 中間
- 開口向下：> 0 中間，< 0 兩邊
- 乘除負數要反轉符號