概率基礎

1重點摘要 Summary

概率 P(事件) = 符合事件的結果數 ÷ 所有等可能結果數。範圍是 0（不可能）到 1（必然）。全部互斥事件的概率加起來一定是 1。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 概率的定義與範圍概率量度事件發生的機會，數值必定在 0 與 1 之間：0 表示不可能，1 表示必然，0.5 表示機會均等，也可以寫成百分數，例如 0.5 = 50%。用日常事件理解：從只裝紅球的袋中抽得白球，概率是 0；擲一枚公平硬幣得正面，概率是 0.5；太陽從東方升起，概率是 1。任何計算結果若大於 1 或是負數，必定出錯，應立即覆查分子與分母是否填反，或有利結果是否數錯。
2. 基本公式在每個結果機會均等的前提下，概率公式是：P(事件) = 有利結果數目 ÷ 所有可能結果數目。例如擲一枚公平骰子，求擲得 6 的概率：有利結果只有 {6} 一個；所有可能結果是 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 共六個；故 P(6) = 1 ÷ 6。使用公式的前提是每個結果發生的機會均等，例如骰子必須是公平的；若骰子被做手腳，各面出現的機會不同，公式便不再適用。
3. 例子：擲得雙數擲一枚公平骰子，求擲得雙數的概率。有利結果是 {2, 4, 6}，共三個；所有可能結果仍是六個；故 P(雙數) = 3 ÷ 6 = 12 = 0.5 = 50%。留意同一個概率可以有不同寫法：分數 12、小數 0.5、百分數 50% 完全等價，答題時按題目要求選用，或三者並列。數有利結果時必須逐一列出，避免心算遺漏，例如「大於 4」是 {5, 6} 兩個結果而非一個。
4. 互補事件：用 1 減有時計算「不發生」的概率比直接計算「發生」更容易，此時用互補事件公式：P(不發生) = 1 − P(發生)。例如擲骰子，擲得 6 的概率是 16，則擲不到 6 的概率是 1 − 16 = 56。互補事件必定涵蓋所有情況，兩者概率之和恰為 1。當題目問「至少一次」或「不是」時，先想想互補是否更快捷，例如連擲多次至少一次得 6 的問題，用互補角度處理會簡單得多。
5. 撲克牌例子一副 52 張的撲克牌（不含鬼牌），隨機抽一張：牌中有 13 張紅心，故 P(紅心) = 13 ÷ 52 = 14；有 4 張 A，故 P(A) = 4 ÷ 52 = 113。這類題目的關鍵是把分子數對：每種花色 13 張、每個點數 4 張，結構必須牢記。若題目加上條件，例如「已知抽得的是紅心，求它是紅心 A 的概率」，分母便要縮小為 13，這是條件概率思想的入門，高中會正式學習。
6. 獨立性與常見誤解核心要點有四：概率必在 0 與 1 之間；所有可能結果的概率之和等於 1；公平即每個結果機會均等；每次試驗互相獨立。最常見的誤解是賭徒謬誤：連續擲得五次 6 之後，認為下一次「不會再是 6」，其實骰子沒有記憶，下一次擲得 6 的機會仍然是 16。同理，連續多期開出同一個號碼的抽獎，每期中獎機會依然不變。理解獨立性，可以避免許多日常判斷的陷阱。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• P = 有利結果 ÷ 所有結果
• 概率是 0 到 1 之間
• 不發生 = 1 − 發生
• 每次試驗獨立，不要受之前結果影響
• 公平 = 每個結果等可能