統計：平均數、中位數、眾數

1重點摘要 Summary

平均數（mean）= 總和 ÷ 數量；中位數（median）= 排好序之後中間那個；眾數（mode）= 出現最多的數。一組數據可以三個都不同 — 各自描述「中心」的不同角度。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 平均數（Mean）平均數是把所有數據相加後除以數據的個數。例如數據 1, 2, 3, 4, 5：總和 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，個數是 5，平均數 = 15 ÷ 5 = 3。平均數利用了全部數據，是最常用的集中趨勢量度，日常所說的平均分、平均氣溫都屬此類。它的弱點是容易受極端值影響：若五人月收入為 1 萬、1.1 萬、1.2 萬、1.3 萬與 100 萬，平均數被 100 萬大幅拉高，已不能代表大多數人的水平。
2. 中位數（Median）中位數是把數據由小至大排列之後，正中間的那個數。例如 1, 2, 3, 4, 5 共五個數，第 3 個是中位數 3。若數據個數是雙數，例如 1, 2, 3, 4，中間有兩個數 2 與 3，便取它們的平均：(2 + 3) ÷ 2 = 2.5。求中位數之前必須先排序，這是最常被遺忘的步驟：直接在未排序的數據中取「中間位置」會得出錯誤答案。中位數不受極端值影響，適合描述收入、樓價等懸殊數據。
3. 眾數（Mode）眾數是出現次數最多的數據值。例如 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 中，1 出現一次、2 出現兩次、3 出現三次，眾數是 3。眾數也可以是出現最多的類別，因此鞋店會說「38 碼最暢銷」，而不必談論平均腳長。一組數據可能沒有眾數（全部數值各出現一次），也可能有超過一個眾數（兩個值並列出現最多）。求眾數只需數次數，不必加減，是三個量度中最直接的一個。
4. 三者比較：考試分數例子五位同學的分數是 60, 70, 70, 80, 90。平均數 = (60 + 70 + 70 + 80 + 90) ÷ 5 = 370 ÷ 5 = 74；中位數是排序後第 3 個，即 70；眾數是出現最多的 70。三個結果 74、70、70 相當接近，因為這組數據分布均勻、沒有極端值。這個例子顯示：同一批數據可以用三把不同的「尺」量度集中趨勢，答案不同並非計算錯誤，而是三者的定義本來就不同，答題時必須分清楚問的是哪一個。
5. 何時選用哪個量度平均數最常用，但一個極端值便能使它失真：數據 1, 2, 3, 4, 100 的平均數是 22，可是大部分數在 1 至 4 之間，22 毫無代表性；此組的中位數是 3，更貼近多數。眾數適合回答「最受歡迎」的問題，例如最受歡迎的尺碼、顏色或班別。報告數據時，若分布明顯偏斜（如收入、樓價），宜同時附上中位數；若數據對稱而無異常值，平均數已經足夠。新聞報導的平均樓價與中位數樓價並列，正是這個道理。
6. 常見錯誤與答題格式常見錯誤有三：求中位數之前忘記排序；數據個數為雙數時直接取第 n ÷ 2 個，忘記把中間兩數平均；把眾數寫成出現的次數而非該數值，例如在 1, 2, 2, 3 中誤答「2 次」而非 2。答題的標準格式是先寫公式或定義，再代入數據，最後清楚寫出「平均數是 74、中位數是 70、眾數是 70」，三個量度分開陳述，逐項對應，避免混為一談而失分。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• Mean = 加起來除開個數
• Median = 排好序中間那個（雙數就平均兩個）
• Mode = 出現最多次那個
• 找 median 之前一定要先排序
• Outlier 會拉歪 mean，這個時候 median 更準