離差：方差同標準差

1重點摘要 Summary

學習量度數據的分散程度：方差與標準差。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：離差的意義平均數只能描述一組數據的中心位置，不能顯示數據的分散程度；量度分散程度的指標稱為離差，方差與標準差是最常用的兩種。例如甲乙兩班的平均分同為 70 分，甲班分數集中在 65 至 75 之間，乙班卻由 30 分到 100 分都有，兩班的整齊程度截然不同。為什麼需要離差？因為只有平均數時，這兩班看起來毫無分別。常見錯法是只匯報平均數便比較兩組數據，忽略分散程度這一半資訊。
2. 第二步：方差的定義方差是把每個數據與平均數之差的平方相加，再除以數據個數，即 Var = Σ(x − 平均數)² ÷ n。為什麼要平方？因為偏差有正有負，直接相加會互相抵消，例如偏差 −2 與 2 相加得 0，分散程度便被掩蓋；平方後全部變為正數，大小才能累積。為什麼最後除以 n？這是把平方後的總量化為平均，方便不同組之間比較。常見錯法是漏了平方便求和，得出的數永遠是 0 或接近 0，一見結果為 0 應立即察覺出錯。
3. 第三步：計算偏差以數據 2、4、6 為例示範完整流程：第一步求平均數，(2 + 4 + 6) ÷ 3 = 4；第二步求每個數據的偏差，即各數減去平均數：2 − 4 = −2，4 − 4 = 0，6 − 4 = 2。為什麼要先求平均數？因為方差量度的正是各數偏離平均的程度，平均數是整個計算的基準點。常見錯法是拿數據減去最大值或第一個數，而不是減平均數，基準一錯之後全部作廢；計算偏差後可順手檢查各偏差之和是否為 0。
4. 第四步：平方與求方差把上一步的偏差逐一平方：(−2)² = 4，0² = 0，2² = 4；再相加得 4 + 0 + 4 = 8；最後除以數據個數 3，得方差 = 8 ÷ 3 ≈ 2.67。為什麼負偏差平方後變正？因為平方消去符號，(−2)² 與 2² 同為 4，方向不影響大小。常見錯法是平方時處理負號出錯，誤寫 (−2)² = −4；另一常見錯法是除以 n − 1，那是統計學另一場合的用法，中學教材按除以 n 計算，應按課程要求。
5. 第五步：由方差到標準差標準差是方差的平方根：標準差 = √方差。上例中方差為 83 ≈ 2.67，故標準差 = √(83) ≈ 1.63。為什麼要開方？因為平方的緣故，方差的單位是原數據單位的平方，例如數據以公分計，方差便是平方公分，開方後標準差的單位回到公分，才能與原數據直接比較。標準差越小，數據越集中於平均數附近。常見錯法是答題時把方差與標準差混為一談，兩者數值不同，須分清楚題目要求哪一個。
6. 第六步：實際應用比較兩組數據時，標準差是判斷穩定程度的關鍵：A 組標準差小，表示數據緊貼平均數，表現穩定；B 組標準差大，表示數據忽高忽低，表現起伏。例如兩位學生多次測驗的平均分同為 80，甲的標準差是 3，乙的標準差是 12，可見甲的成績穩定，乙的成績時好時壞。為什麼平均數相同還要比較標準差？因為穩定性是平均數無法反映的資訊。常見錯法是單憑一次最高分斷定優劣，應同時看平均數與標準差兩個指標。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 方差 = 每個數和平均數差的平方，加起，除回個數
• 標準差 = √方差
• 標準差越小，數據越集中，越穩定
• 標準差越大，數據越分散，越飄忽
• 用來比較兩組數據的穩定性