三角形面積

1重點摘要 Summary

學一條新公式，不用計高都可以計三角形面積。我會一步步教你點用。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：以前學的面積公式小學已學過：三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2。這條公式適用於「已知底和對應高」的情況，例如底 10 cm、高 6 cm 的三角形，面積 = 10 × 6 ÷ 2 = 30 平方厘米。但它有一個限制：必須知道「高」——即由頂點垂直落到底邊的距離。若題目只給兩條邊的長度和它們的夾角，例如「兩邊 6 cm 和 8 cm，夾角 30°」，根本不知道高是多少，這條舊公式便無法直接使用，這正是需要學習新公式的原因。
2. 第二步：新公式：SAS 面積新公式：面積 = (12) × a × b × sin C，其中 a 和 b 是兩條已知邊，C 是它們的夾角（兩邊之間的那個角，不是其他角）。這條公式也叫「兩邊夾角」（SAS，Side-Angle-Side）面積公式。使用條件明確：必須是夾角——若已知的是另外的角，不能直接套用。例子：兩邊 6 cm 和 8 cm、夾角 30°，代入得面積 = (12) × 6 × 8 × sin 30°。這條公式的好處是完全不用求高：兩個長度一個角度，三個數據代入即得答案，對不能用尺量高的題目尤其有用。
3. 第三步：為什麼會是這樣新公式可以由舊公式推導出來，兩者本質相同。設已知邊 a、b 和夾角 C，把 b 當作底，那麼高是從對面頂點垂直落下的線段。在形成的直角三角形中，sin C = 高 ÷ a（對邊比斜邊），所以高 = a × sin C。代入舊公式：面積 = 底 × 高 ÷ 2 = b × (a sin C) ÷ 2 = (12) ab sin C，與新公式完全一致。由此可見新公式並非憑空發明，只是把「求高」的步驟用三角比一次完成。明白這個來源，公式便不用死記，忘記了也可以即場推導。
4. 第四步：什麼時候用這條新公式判斷標準：題目給了兩條邊和它們的夾角，求面積，就用 SAS 公式。三種常見題目形態：第一種直接給「兩邊夾角」，如「兩邊 7 cm 和 10 cm，夾角 45°」；第二種給兩邊加三角形其中一個內角，需先確認那個角是否兩已知邊的夾角；第三種圖形題，三角形藏在不規則圖形中，要先從圖中認出兩邊與夾角。對照：若題目給的是底和高的長度，用舊公式更快；兩種公式沒有優劣之分，只有適用條件不同。審題時圈出已知的邊和角，判斷便不會錯。
5. 第五步：計數例子完整計算示範：兩邊 6 cm 和 8 cm，夾角 30°，求面積。第一步，寫公式：面積 = (12) × a × b × sin C。第二步，代入：= (12) × 6 × 8 × sin 30°。第三步，記住特殊角的值：sin 30° = 0.5。第四步，計算：= 0.5 × 6 × 8 × 0.5 = 12 平方厘米，留意必須寫單位「平方厘米」（cm²）。再練一個：兩邊 5 cm 和 10 cm、夾角 90°，面積 = 0.5 × 5 × 10 × sin 90° = 0.5 × 50 × 1 = 25 平方厘米。sin 30°、sin 90° 這類特殊角的值必須背熟，考試不會提供。
6. 第六步：和舊公式比較新舊公式的關係：舊公式是新公式的特例。當夾角 C = 90°（直角三角形）時，sin 90° = 1，新公式變成面積 = (12) × a × b × 1 = (12) ab，正是「底 × 高 ÷ 2」，因為直角三角形的兩條直角邊互為底和高。例如兩直角邊 5 和 12，面積 = 5 × 12 ÷ 2 = 30，用新公式計算同樣得 30。反過來，夾角越小，sin C 越小，面積也越小：同樣兩邊 6 和 8，夾角 90° 時面積 24，夾角 30° 時只有 12，這符合直觀——兩邊張開得越開，三角形越大。
7. 第七步：常見錯誤SAS 面積公式有三大陷阱。第一，用錯角：公式要的是兩已知邊的夾角，若代入的是其中一邊的對角便錯；審題時把兩條邊和角在圖上標出，確認角在兩邊之間。第二，計數機模式錯誤：輸入 sin 30° 前確認計數機用「角度（Degree）」模式；若在弧度（Radian）模式，sin 30° 會得出約 −0.988 的荒謬結果。第三，忘記除 2 或漏寫單位：面積 = (12) × 6 × 8 × 0.5 = 12，漏了 0.5 便變 24，錯一倍；單位必須是平方單位（cm²）。每題完成後核對三樣：角是夾角、模式是 Degree、答案有除以 2。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 新公式：面積 = (12)ab sin C
• 已知兩邊和夾角就用得
• 不用找高都計到面積
• 舊公式是它的特例（直角時）
• 記住前面有個 12