概率基础

1重点摘要 Summary

概率 P(事件) = 符合事件的结果数 ÷ 所有等可能结果数。范围是 0（不可能）到 1（必然）。全部互斥事件的概率加起来一定是 1。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 概率的定义与范围概率量度事件发生的机会，数值必定在 0 与 1 之间：0 表示不可能，1 表示必然，0.5 表示机会均等，也可以写成百分数，例如 0.5 = 50%。用日常事件理解：从只装红球的袋中抽得白球，概率是 0；掷一枚公平硬币得正面，概率是 0.5；太阳从东方升起，概率是 1。任何计算结果若大于 1 或是负数，必定出错，应立即覆查分子与分母是否填反，或有利结果是否数错。
2. 基本公式在每个结果机会均等的前提下，概率公式是：P(事件) = 有利结果数目 ÷ 所有可能结果数目。例如掷一枚公平骰子，求掷得 6 的概率：有利结果只有 {6} 一个；所有可能结果是 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 共六个；故 P(6) = 1 ÷ 6。使用公式的前提是每个结果发生的机会均等，例如骰子必须是公平的；若骰子被做手脚，各面出现的机会不同，公式便不再适用。
3. 例子：掷得双数掷一枚公平骰子，求掷得双数的概率。有利结果是 {2, 4, 6}，共三个；所有可能结果仍是六个；故 P(双数) = 3 ÷ 6 = 12 = 0.5 = 50%。留意同一个概率可以有不同写法：分数 12、小数 0.5、百分数 50% 完全等价，答题时按题目要求选用，或三者并列。数有利结果时必须逐一列出，避免心算遗漏，例如「大于 4」是 {5, 6} 两个结果而非一个。
4. 互补事件：用 1 减有时计算「不发生」的概率比直接计算「发生」更容易，此时用互补事件公式：P(不发生) = 1 − P(发生)。例如掷骰子，掷得 6 的概率是 16，则掷不到 6 的概率是 1 − 16 = 56。互补事件必定涵盖所有情况，两者概率之和恰为 1。当题目问「至少一次」或「不是」时，先想想互补是否更快捷，例如连掷多次至少一次得 6 的问题，用互补角度处理会简单得多。
5. 扑克牌例子一副 52 张的扑克牌（不含鬼牌），随机抽一张：牌中有 13 张红心，故 P(红心) = 13 ÷ 52 = 14；有 4 张 A，故 P(A) = 4 ÷ 52 = 113。这类题目的关键是把分子数对：每种花色 13 张、每个点数 4 张，结构必须牢记。若题目加上条件，例如「已知抽得的是红心，求它是红心 A 的概率」，分母便要缩小为 13，这是条件概率思想的入门，高中会正式学习。
6. 独立性与常见误解核心要点有四：概率必在 0 与 1 之间；所有可能结果的概率之和等于 1；公平即每个结果机会均等；每次试验互相独立。最常见的误解是赌徒谬误：连续掷得五次 6 之后，认为下一次「不会再是 6」，其实骰子没有记忆，下一次掷得 6 的机会仍然是 16。同理，连续多期开出同一个号码的抽奖，每期中奖机会依然不变。理解独立性，可以避免许多日常判断的陷阱。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• P = 有利结果 ÷ 所有结果
• 概率是 0 到 1 之间
• 不发生 = 1 − 发生
• 每次试验独立，不要受之前结果影响
• 公平 = 每个结果等可能