概率乘法法則

1重點摘要 Summary

學習計算「和」的概率：兩個事件共同發生的機會。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：獨立事件若兩個事件互不影響，其中一件是否發生並不改變另一件發生的概率，則稱它們為獨立事件。獨立事件的乘法法則是 P(A 和 B) = P(A) × P(B)。例如擲一枚硬幣與擲一粒骰子，硬幣的結果不影響骰子的結果，兩者獨立。為什麼可以直接相乘？因為第一件事的結果絲毫不改變第二件事的樣本空間。常見錯法是把未經檢驗的兩件事當成獨立，套用公式前必須先判斷是否互相影響。
2. 第二步：獨立事件的例子擲骰子兩次，求兩次都擲得 6 的概率：第一次得 6 的概率是 16，第二次得 6 的概率同樣是 16，兩次結果互不影響，故 P(兩次都是 6) = 16 × 16 = 136。為什麼第二次仍是 16？因為骰子沒有記憶，第一次的結果完全不改變第二次的可能性。常見錯法是把 16 + 16 = 13 當成答案，那是「至少一次得 6」一類問題的思路，與「兩次都」的乘法情境完全不同。
3. 第三步：相關事件與條件概率若第一件事的結果會改變第二件事發生的概率，兩者便是相關事件（不獨立），須用條件概率形式的乘法法則：P(A 和 B) = P(A) × P(B|A)，其中 P(B|A) 表示在 A 已發生的條件下 B 發生的概率。最典型的情境是抽物不放回：第一件抽出後總數減少，第二件的概率隨之改變。為什麼不能直接相乘？因為第二次的樣本空間已被第一次改變。常見錯法是無視「不放回」三字，仍用獨立事件的公式。
4. 第四步：相關事件的例子從一副 52 張的撲克牌中抽出兩張，不放回，求兩張都是紅桃的概率：第一張是紅桃的概率為 1352；抽出一張紅桃後，牌堆餘 51 張，其中紅桃餘 12 張，故 P(第二張是紅桃 | 第一張是紅桃) = 1251。為什麼分子分母都變？因為總牌數由 52 減為 51，紅桃由 13 減為 12，兩者同步減一。常見錯法是只減分子不減分母，誤用 1252；分母必須反映剩餘的總數。
5. 第五步：相乘與約簡接上例相乘：P(兩張都是紅桃) = 1352 × 1251。先約簡可減少數字：1352 = 14，於是 14 × 1251 = 12204，再約簡得 117。為什麼先約簡？因為大數相乘之後再約分容易出錯，先約可使計算量大幅減少，例如 12 與 51 有公因數 3，先約得 4 與 17，乘積直接是 451 的形式。常見錯法是相乘後忘記約簡，寫出 12204 便收筆；答案應化至最簡分數，或按題目要求化為小數。
6. 第六步：獨立還是相關的判斷判斷兩事件是否獨立，關鍵在於第一次結果是否改變第二次的樣本空間：抽出後放回，或擲骰、擲幣等重複試驗，各次互相獨立；抽出後不放回，總數改變，便是相關事件。例如袋中有 3 紅 2 藍共 5 球，放回抽取時第二次抽紅的概率恆為 35，不放回時則視第一次結果而改變。為什麼要練習判斷？因為選錯法則整題作廢。常見錯法是見到「抽兩次」便用獨立公式，應先讀清楚有無「放回」字眼。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 獨立事件（有回置）：P(A 和 B) = P(A) × P(B)
• 相關事件（無回置）：P(A 和 B) = P(A) × P(B|A)
• 「和」用乘法，「或者」用加法
• 無回置記得分母同分子都會變
• 擲骰、擲硬幣每次都是獨立