累積頻數

1重點摘要 Summary

學習繪畫累積頻數多邊形，從中找出中位數與四分位數。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：計算累積頻數累積頻數是把頻數由第一組起逐組累加所得的數列：第一組的累積頻數就是該組頻數，之後每組的累積頻數等於之前各組頻數的總和。例如四組頻數依次為 5、8、12、10，則累積頻數依次為 5、13、25、35，最後一組的累積頻數 35 正好等於數據總數 N。為什麼要累加？因為累積頻數回答的是「某數值以下共有多少個數據」這類問題。常見錯法是累加時漏掉某一組，或把頻數與累積頻數兩欄混淆。
2. 第二步：描點繪畫累積頻數多邊形時，以每組的上組界為橫坐標、該組的累積頻數為縱坐標描點。例如 0 至 10 一組的上組界是 10，累積頻數是 5，便描出點 (10, 5)；若各組組界為 0-10、10-20、20-30、30-40，描出的點依次是 (10, 5)、(20, 13)、(30, 25)、(40, 35)。為什麼用上組界而非組中點？因為累積到上組界時，該組所有數據已被計入。常見錯法是誤用組中點描點，令整條曲線平移出錯。
3. 第三步：連線成圖把各點用直線段依次連接，便得累積頻數多邊形；繪圖前須在最前補上點 (0, 0)，表示數值為 0 以下沒有任何數據。完成後的曲線由左下方向右上方遞增，只升不降，最後到達總數 N。例如上例的曲線由 (0, 0) 出發，經過 (10, 5)、(20, 13)、(30, 25)，終點是 (40, 35)。為什麼只升不降？因為累積只會增加不會減少。常見錯法是忘記補 (0, 0)，或把線段畫成平滑曲線而偏離給定的組界點。
4. 第四步：由圖像讀中位數若共有 N 個數據，中位數位於第 N2 個位置。讀法分三步：在縱軸上取 N2，例如 N = 35 時取 17.5；由此畫水平線交累積頻數曲線於一點；再從交點畫垂直線落至橫軸，橫軸上的讀數就是中位數的估計值。為什麼中位數在第 N2 個？因為累積頻數曲線正好按位置排列數據，曲線上一點的縱坐標表示該橫坐標以下的數據個數。常見錯法是把 N2 誤當成累積頻數去讀橫軸，方向顛倒。
5. 第五步：由圖像讀四分位數下四分位數 Q1 位於第 N4 個，上四分位數 Q3 位於第 3N/4 個，讀法與中位數完全相同。例如 N = 40 時，Q1 在第 10 個，Q3 在第 30 個：在縱軸分別取 10 與 30，畫水平線交曲線，再垂直下落讀橫軸。為什麼要學四分位數？因為它們組成四分位數間距，是量度離差的重要工具，而且不受極端值影響。常見錯法是把 Q3 的位置誤記為其他倍數，或把 Q1 與數據的最小值混淆。
6. 第六步：四分位數間距四分位數間距 = 上四分位數 − 下四分位數，即 Q3 − Q1，是量度離差的另一種方法，表示中間一半數據的分佈範圍。例如某組數據 Q1 = 22，Q3 = 31，則四分位數間距 = 31 − 22 = 9。為什麼說它不受極端值影響？因為它只用到第 N4 與第 3N/4 個位置的數據，即使出現極端高分 100 或極端低分 0，Q1 與 Q3 幾乎不變。常見錯法是把四分位數間距誤算為 Q3 + Q1，或與全距混淆；只有全距才會被極端值拉動。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 累積頻數 = 由小到大逐組加
• 畫圖用上組界對應累積頻數
• 中位數在 N2 位置
• 下四分位 Q1 在 N4，上四分位 Q3 在 3N/4
• 四分位數間距 = Q3 - Q1（量度離差，不受極端值影響）