函數與圖像

1重點摘要 Summary

函數就是一部機器：輸入 x，輸出 y。畫在坐標紙上面就是圖像。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 函數是輸入輸出的機器函數可以想像成一部機器：從入口輸入 x 的值，機器按固定規則運算，從出口輸出 y 的值。以 y = 2x + 1 為例：輸入 x = 1，機器計算 2 × 1 + 1，輸出 y = 3；輸入 x = 2，輸出 y = 5。函數的特點是每個輸入只對應唯一一個輸出：x = 1 時 y 只能是 3，不會同時是另一個數。自來水費與的士車資都是函數的現實版本：行車里數一旦確定，車資便唯一確定。
2. 坐標表示點的位置平面上每個點用一對數 (x, y) 表示：第一個數是 x 坐標，向右為正；第二個數是 y 坐標，向上為正。例如 (2, 3) 表示由原點向右 2 格、向上 3 格的位置；兩軸相交的 (0, 0) 稱為原點。讀寫坐標時次序不可顛倒：(2, 3) 與 (3, 2) 是兩個不同的點，這是初學者最常犯的錯誤。記憶方法是「先行後上」，如同樓宇地址先講樓層再講室號，次序固定不能調換。
3. 畫直線圖像的步驟直線的圖像只需兩個點便可確定，但畫圖時建議先列一個小型數值表，計算三個點以防出錯。以 y = 2x + 1 為例：x = 0 時 y = 1，得點 (0, 1)；x = 1 時 y = 3，得點 (1, 3)；再算 x = 2 得 (2, 5)。在坐標紙上描出各點，用直尺連線並向兩端延伸。若第三點不在線上，說明計算有誤，必須重查。畫完之後在線旁標明方程，圖像才算完整規範。
4. 斜率 m：直線的傾斜程度斜率 m 量度直線的傾斜程度，定義為上升量 ÷ 前進量，即沿線行走時每前進 1 格上升多少格。由 (0, 1) 到 (1, 3)：上升 = 3 − 1 = 2，前進 = 1 − 0 = 1，故 m = 2 ÷ 1 = 2。斜率越大，直線越陡；m = 2 表示每向右 1 格便上升 2 格。計算時必須以同一方向讀兩點的坐標：若 y 用「後減前」，x 也要「後減前」，順序顛倒會令正負號出錯，斜率方向便判斷錯誤。
5. 截距 c 與方程 y = mx + cy 截距是直線與 y 軸相交的位置。在標準式 y = mx + c 之中，c 正是 y 截距：y = 2x + 1 的截距是 1，直線穿過 (0, 1)。驗證方法是把 x = 0 代入，得 y = 2 × 0 + 1 = 1。斜率與截距兩個數字完全確定一條直線：m 決定傾斜程度，c 決定上下位置。因此看見方程便能想像圖像，看見圖像也能讀出方程，這種數與形的互相轉換是坐標幾何的核心訓練。
6. 斜率的正負與圖像方向斜率的正負決定直線的方向：m 為正，直線由左下向右上攀升，例如 y = 2x + 1；m 為負，直線由左上向右下滑落，例如 y = −x + 3；m = 0 時直線水平，例如 y = 4。日常語言中的「上升趨勢」與「下降趨勢」，在數學上就是斜率的正與負。檢查圖像時，先看方向是否與斜率符號相符，再看截距位置是否正確，兩者無誤，這條直線基本上便畫對了。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 函數：輸入 x，輸出 y
• 坐標：(x, y) 先橫後直
• 畫直線最少要兩個點
• 斜率 m = 上昇 ÷ 前行
• y = mx + c：m 是斜率，c 是截距