累积频数

1重点摘要 Summary

学习绘画累积频数多边形，从中找出中位数与四分位数。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：计算累积频数累积频数是把频数由第一组起逐组累加所得的数列：第一组的累积频数就是该组频数，之后每组的累积频数等于之前各组频数的总和。例如四组频数依次为 5、8、12、10，则累积频数依次为 5、13、25、35，最后一组的累积频数 35 正好等于数据总数 N。为什么要累加？因为累积频数回答的是「某数值以下共有多少个数据」这类问题。常见错法是累加时漏掉某一组，或把频数与累积频数两栏混淆。
2. 第二步：描点绘画累积频数多边形时，以每组的上组界为横坐标、该组的累积频数为纵坐标描点。例如 0 至 10 一组的上组界是 10，累积频数是 5，便描出点 (10, 5)；若各组组界为 0-10、10-20、20-30、30-40，描出的点依次是 (10, 5)、(20, 13)、(30, 25)、(40, 35)。为什么用上组界而非组中点？因为累积到上组界时，该组所有数据已被计入。常见错法是误用组中点描点，令整条曲线平移出错。
3. 第三步：连线成图把各点用直线段依次连接，便得累积频数多边形；绘图前须在最前补上点 (0, 0)，表示数值为 0 以下没有任何数据。完成后的曲线由左下方向右上方递增，只升不降，最后到达总数 N。例如上例的曲线由 (0, 0) 出发，经过 (10, 5)、(20, 13)、(30, 25)，终点是 (40, 35)。为什么只升不降？因为累积只会增加不会减少。常见错法是忘记补 (0, 0)，或把线段画成平滑曲线而偏离给定的组界点。
4. 第四步：由图像读中位数若共有 N 个数据，中位数位于第 N2 个位置。读法分三步：在纵轴上取 N2，例如 N = 35 时取 17.5；由此画水平线交累积频数曲线于一点；再从交点画垂直线落至横轴，横轴上的读数就是中位数的估计值。为什么中位数在第 N2 个？因为累积频数曲线正好按位置排列数据，曲线上一点的纵坐标表示该横坐标以下的数据个数。常见错法是把 N2 误当成累积频数去读横轴，方向颠倒。
5. 第五步：由图像读四分位数下四分位数 Q1 位于第 N4 个，上四分位数 Q3 位于第 3N/4 个，读法与中位数完全相同。例如 N = 40 时，Q1 在第 10 个，Q3 在第 30 个：在纵轴分别取 10 与 30，画水平线交曲线，再垂直下落读横轴。为什么要学四分位数？因为它们组成四分位数间距，是量度离差的重要工具，而且不受极端值影响。常见错法是把 Q3 的位置误记为其他倍数，或把 Q1 与数据的最小值混淆。
6. 第六步：四分位数间距四分位数间距 = 上四分位数 − 下四分位数，即 Q3 − Q1，是量度离差的另一种方法，表示中间一半数据的分布范围。例如某组数据 Q1 = 22，Q3 = 31，则四分位数间距 = 31 − 22 = 9。为什么说它不受极端值影响？因为它只用到第 N4 与第 3N/4 个位置的数据，即使出现极端高分 100 或极端低分 0，Q1 与 Q3 几乎不变。常见错法是把四分位数间距误算为 Q3 + Q1，或与全距混淆；只有全距才会被极端值拉动。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 累积频数 = 由小到大逐组加
• 画图用上组界对应累积频数
• 中位数在 N2 位置
• 下四分位 Q1 在 N4，上四分位 Q3 在 3N/4
• 四分位数间距 = Q3 - Q1（量度离差，不受极端值影响）