質數與分解質因數

1重點摘要 Summary

質數 = 只有 1 和自己兩個因數。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1步：認識質數一個數如果只有 1 和它自己兩個因數，它就是質數。例如 7 的因數只有 1 和 7，所以 7 是質數；6 的因數有 1、2、3、6，所以不是。小的質數有 2、3、5、7、11、13、17、19，把這一串記住，之後分解質因數就快得多。特別注意 2 是唯一的偶質數，其他偶數都有 2 這個因數，除了 1 和自己之外還多出一個，所以都不可能是質數。常見錯誤是把 1 當成質數，或者漏掉 2；判斷時老老實實把因數全部找出來，數一數個數再下結論。
2. 第2步：認識合成數除了 1 和自己之外還有其他因數的數，叫做合成數。例如 12 的因數有 1、2、3、4、6、12，共六個，多過兩個，所以 12 是合成數，可以拆成更小的數相乘，例如 12 = 3 × 4。合成數正好就是能夠分解質因數的數，質數則不能再拆。為什麼要分清兩類？因為分解質因數只在合成數上進行，起點判斷錯了，整那道題目就會做錯方向。常見錯誤是找因數時找漏，例如漏掉 12 的 6，把合成數誤判成質數；因數要成對地找，由 1 開始逐一核查到該數的平方根附近。
3. 第3步：1 的特殊情況1 只有一個因數，就是它自己，所以它既不是質數，也不是合成數。定義上質數要有兩個因數，合成數要有三個或以上，1 只有一個，兩邊都不符合，是這兩個分類之外的特例。分解質因數的結果裡也不會出現 1，因為乘 1 不會改變積的大小，寫出來毫無作用。記住這一點，做判斷題時就不會上當。常見錯誤是把 1 歸入質數，或者分解時寫出 2 × 2 × 3 × 1 之類多餘的因數；答案裡見到 1 就要刪去，1 從來不參與質因數分解。
4. 第4步：畫因數樹畫因數樹：把一個合成數拆成兩個因數相乘，再繼續拆下去，直到每條分支都是質數為止，整個過程畫出來就像一棵樹。例如 12 = 4 × 3，4 再拆成 2 × 2，3 已經是質數，所以 12 = 2 × 2 × 3。2 和 3 都是質數，不能再拆，分解就完成了。為什麼要拆到質數為止？因為質因數分解要求每個因數都是質數，還有合成數就未完成。常見錯誤是半途停止，把 12 = 4 × 3 當成最終答案；收筆之前逐一檢查每個因數，全部是質數才算完成。
5. 第5步：換條路結果相同因數樹的走法不止一條：12 也可以先拆成 6 × 2，6 再拆成 2 × 3，結果同樣是 2 × 2 × 3。無論從哪一對因數開始拆，最後得到的質因數都一樣，只是出現的次序可能不同。這說明分解質因數的結果是唯一的，這是它的重要性所在，也是算術裡一條深刻的規律，中學會再深入學習，小學階段用幾條不同的路徑試一試就能驗證。常見錯誤是以為不同拆法會得出不同結果，因而害怕選錯起點；放心從任何一對因數開始，終點都相同。
6. 第6步：用指數記法相同的質因數連乘，可以用指數寫得更簡短：12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3；36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²。指數表示乘了多少次，2² 讀作二的二次方，表示兩個 2 相乘。為什麼用指數？因為質因數重複多次時連乘寫法冗長，指數寫法整齊清楚，也方便比較不同的數，例如一眼看出 36 有兩個 2 和兩個 3。常見錯誤是把指數當成乘數，把 2³ 算成 2 × 3 = 6，正確是 2 × 2 × 2 = 8；指數是重複的次數，不是相乘的對象，計算前先想清楚。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 質數只有 1 和自己兩個因數
• 1 不是質數亦不是合成數
• 2 是唯一的偶數質數
• 因數樹拆到全部是質數為止
• 無論點拆，質因數結果唯一（指數寫法 2² × 3）