质数与分解质因数

1重点摘要 Summary

质数 = 只有 1 和自己两个因数。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第1步：认识质数一个数如果只有 1 和它自己两个因数，它就是质数。例如 7 的因数只有 1 和 7，所以 7 是质数；6 的因数有 1、2、3、6，所以不是。小的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19，把这一串记住，之后分解质因数就快得多。特别注意 2 是唯一的偶质数，其他偶数都有 2 这个因数，除了 1 和自己之外还多出一个，所以都不可能是质数。常见错误是把 1 当成质数，或者漏掉 2；判断时老老实实把因数全部找出来，数一数个数再下结论。
2. 第2步：认识合成数除了 1 和自己之外还有其他因数的数，叫做合成数。例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12，共六个，多过两个，所以 12 是合成数，可以拆成更小的数相乘，例如 12 = 3 × 4。合成数正好就是能够分解质因数的数，质数则不能再拆。为什么要分清两类？因为分解质因数只在合成数上进行，起点判断错了，整那道题目就会做错方向。常见错误是找因数时找漏，例如漏掉 12 的 6，把合成数误判成质数；因数要成对地找，由 1 开始逐一核查到该数的平方根附近。
3. 第3步：1 的特殊情况1 只有一个因数，就是它自己，所以它既不是质数，也不是合成数。定义上质数要有两个因数，合成数要有三个或以上，1 只有一个，两边都不符合，是这两个分类之外的特例。分解质因数的结果里也不会出现 1，因为乘 1 不会改变积的大小，写出来毫无作用。记住这一点，做判断题时就不会上当。常见错误是把 1 归入质数，或者分解时写出 2 × 2 × 3 × 1 之类多余的因数；答案里见到 1 就要删去，1 从来不参与质因数分解。
4. 第4步：画因数树画因数树：把一个合成数拆成两个因数相乘，再继续拆下去，直到每条分支都是质数为止，整个过程画出来就像一棵树。例如 12 = 4 × 3，4 再拆成 2 × 2，3 已经是质数，所以 12 = 2 × 2 × 3。2 和 3 都是质数，不能再拆，分解就完成了。为什么要拆到质数为止？因为质因数分解要求每个因数都是质数，还有合成数就未完成。常见错误是半途停止，把 12 = 4 × 3 当成最终答案；收笔之前逐一检查每个因数，全部是质数才算完成。
5. 第5步：换条路结果相同因数树的走法不止一条：12 也可以先拆成 6 × 2，6 再拆成 2 × 3，结果同样是 2 × 2 × 3。无论从哪一对因数开始拆，最后得到的质因数都一样，只是出现的次序可能不同。这说明分解质因数的结果是唯一的，这是它的重要性所在，也是算术里一条深刻的规律，中学会再深入学习，小学阶段用几条不同的路径试一试就能验证。常见错误是以为不同拆法会得出不同结果，因而害怕选错起点；放心从任何一对因数开始，终点都相同。
6. 第6步：用指数记法相同的质因数连乘，可以用指数写得更简短：12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3；36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²。指数表示乘了多少次，2² 读作二的二次方，表示两个 2 相乘。为什么用指数？因为质因数重复多次时连乘写法冗长，指数写法整齐清楚，也方便比较不同的数，例如一眼看出 36 有两个 2 和两个 3。常见错误是把指数当成乘数，把 2³ 算成 2 × 3 = 6，正确是 2 × 2 × 2 = 8；指数是重复的次数，不是相乘的对象，计算前先想清楚。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 质数只有 1 和自己两个因数
• 1 不是质数亦不是合成数
• 2 是唯一的偶数质数
• 因数树拆到全部是质数为止
• 无论点拆，质因数结果唯一（指数写法 2² × 3）