代數初步：用字母代表數

1重點摘要 Summary

a + 3 即是某數加 3。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1步：字母代表數字母可以代表一個未知的數：a + 3 裡的 a，可能是 5、10 或者任何數。用字母把數量關係寫成式子，表達就變得簡潔通用：不管 a 是多少，a + 3 總是比 a 多 3，一條式說清了所有情況。這是學代數的第一步。為什麼要用字母？因為有些數暫時不知道，或者想表達對任何數都成立的規律，字母正好擔當這個角色。常見誤解是以為 a 只能代表某一個固定的數；字母代表的是待定或者任意的數，等題目給了值，才有確定的意義。
2. 第2步：代入求值知道 a = 5 之後，把 5 代替 a 放進式子：a + 3 = 5 + 3 = 8。代入就是把字母換成具體的數，然後按原來的運算次序算出結果。式子裡每個字母都要換齊，不能漏掉任何一個。為什麼代入後要按次序計算？因為式子本身有固定的運算結構，先乘除後加減的規則仍然生效，例如 3a + 2 要先算 3 × a 再加 2。常見錯誤是代入了部分字母就開始計算，或者把代入過程寫亂；先把整條式子的字母全部換成數，再一步一步按次序算。
3. 第3步：乘法的寫法代數裡乘號通常省略不寫：a × 5 寫作 5a，a × b 寫作 ab。數字要寫在字母前面，所以 3 × a 寫成 3a，不寫 a3。為什麼可以省略乘號？因為數字與字母並排時，緊挨著本身就表示相乘，不會與加減混淆。但加號和減號不可以省略，只有數與字母之間的乘號才可以省；1 × a 通常直接寫 a，不必寫 1a。常見錯誤是把 a3 當成正確寫法，或者以為 3 + a 也能寫成 3a；記住只有乘號可以隱去，而且數字必須寫在字母前面。
4. 第4步：合併同類項2a + 3a = 5a，因為 2 個 a 加 3 個 a 就是 5 個 a，就像 2 粒糖加 3 粒糖是 5 粒糖。這叫合併同類項。為什麼可以合併？因為兩項的字母相同，單位一致，可以把前面的係數直接相加。但是 2a + 3b 不可以合成 5ab，因為 a 和 b 是兩個不同的數，好比 2 粒糖加 3 粒餅，不能說成 5 粒糖餅。常見錯誤正是把不同字母的項硬合在一起；合併之前先檢查各項的字母是否完全相同，相同才合，不同就保留原樣。
5. 第5步：簡單方程x + 2 = 7 是一條簡單方程，問的是多少加 2 會等於 7。從 7 減 2 得 5，所以 x = 5。求出來之後必須驗算：把 5 代回原式，5 + 2 = 7，左右兩邊相等，說明 x = 5 正確。為什麼要驗算？因為解方程的過程可能有計算失誤，驗算是花幾秒鐘就能確認答案的可靠方法，考試時特別值得做。常見錯誤是求出答案不驗算，或者驗算時用錯數字；記住必須代回原來的方程檢查，而不是代到中途的式子裡，驗算相符才算完成。
6. 第6步：生活裡的例子生活裡的例子：買 3 支水，每支 $w，一共要付 3w 元。如果知道一共付了 15 元，就有一條方程 3w = 15，所以 w = 5，即每支水 5 元。字母先把未知的價錢記下來，再用方程把關係列出，最後解出答案，這正是代數的用處：把文字問題變成式子處理。常見錯誤是列式時把 3 與 w 的角色調轉，寫成 w + 3 或者 w ÷ 3 之類的式子；列式之前先想清楚哪個量是每份、哪個量是總數，每份價錢乘支數才是總價。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 字母可以代表未知的數
• 代入：a = 5 時 a + 3 = 8
• 乘號省略：3 × a 寫作 3a
• 同類項先可以合併：2a + 3a = 5a
• 解方程之後要代回去驗算