多项式除法
基础学会用长除法将多项式除以一次式，会求商同余式。
学完呢课，你会识：
- 多项式除法就像数字长除法这样
- 由最高次项开始除
- 每次除完乘回除式，然后减
读呢课前，你应该识： 多项式运算
1重点摘要 Summary
学会用长除法将多项式除以一次式，会求商同余式。
2生字卡 Vocabulary
D
Dividend被除式
被人除的多项式，例如 (x² + 3x + 2) ÷ (x + 1) 里面 x² + 3x + 2 就是被除式。
D
Divisor除式
用来除的式，例如 (x + 1) 就是除式。
Q
Quotient商
除出来的答案，例如 (x² + 3x + 2) ÷ (x + 1) = x + 2，x + 2 就是商。
R
Remainder余式
除不尽剩低的东西，次数一定比除式小。
L
Long division长除法
就像数字长除法这样，一步步除下去。
D
Divide除以
将一个式分成几份。
L
Leading term最高次项
次数最高那项，例如 3x² + 2x + 1 里面 3x² 就是最高次项。
C
Constant remainder常数余式
余式是一个常数，没有 x。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：写出长除式的格式多项式长除法的格式与数字长除法相同：被除式写在长除号内，除式写在外面，两者都按次数由高至低排列。若被除式中间缺少某个次方的项，必须补上系数为 0 的项，例如把 x³ - 1 写成 x³ + 0x² + 0x - 1。补项是整个方法的基础，漏补会令后面带下来的项错位，加减时次数对不齐，这是长除法最常见的失分原因，动笔前一定要先检查各次方的项是否齐全。
- 第二步：以最高次项相除求商的首项比较被除式与除式的最高次项：把被除式的最高次项除以除式的最高次项，结果就是商的第一项，例如 x³ 除以 x 得 x²，商的首项便是 x²。这样做的原理是让下一步的乘积刚好消去被除式的最高次项，所以每一轮只需要考虑最高次项。法则是系数相除、次数相减，例如 2x³ ÷ x = 2x²，初学者常常忘记系数也要一起相除而误写成 x²，务必小心。
- 第三步：乘回除式并相减把商的首项乘回整条除式，将乘积写在被除式下方，对齐相同次数的项，然后用被除式减去这条乘积。例如商的首项是 x²、除式是 x + 1 时，乘积为 x³ + x²，相减时两项的符号都要改变。相减的目的是消去被除式的最高次项，所以减完后余式的次数必定下降一次；若次数没有下降，多半是相减时符号出错，这是最好的即时检查点，应养成习惯。
- 第四步：把下一项带下来继续除相减完成后，把被除式中下一个尚未处理的项带下来，与刚才的余式合在一起，继续用同样方法除以除式的最高次项。带项时符号必须一并带下，例如带 -3x 就要保持负号。这一步常因为心急而漏带常数项，建议每带一项就在原式上把该项划掉，这样可以确保每一项都被处理过一次，不会重复，也不会遗漏，过程整齐得多。
- 第五步：重复直到余式次数低于除式重复相除、相乘、相减、带下这四个动作，直到余式的次数低于除式的次数为止，因为此时已经无法再除出新的商项。例如除式是一次式时，余式最多是常数；若最后相减得到 0，表示除式刚好整除被除式，余式为 0。整个过程中任何一步发现次数没有下降，都应立即回头检查上一步的乘积与减法，不要继续往下写，以免错误一路扩大。
- 第六步：写出商式与余式并验算把过程中得到的商项全部加起来就是商式，最后余下的式子是余式，结果用恒等式表达：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。例如商式为 x + 2、余式为 0 时，可写成 x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)。答题后最好用这条恒等式验算一次：把除式与商式相乘再加余式，若结果不等于被除式，代表过程中有计算错误，应逐轮检查乘积与减法的符号。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
例题：计算 (x² + 3x + 2) ÷ (x + 1)，完整示范长除法的四步循环。
- 第一步：写出长除格式，被除式 x² + 3x + 2 按次数由高至低排列在长除号内，除式 x + 1 写在外面；本例二次项、一次项与常数项齐全，不需要补系数为 0 的项。
- 第二步：以最高次项相除得 x² ÷ x = x，这就是商的第一项，依据是系数相除、次数相减的法则，确保下一步的乘积能消去被除式的最高次项。
- 第三步：把 x 乘回除式得 x(x + 1) = x² + x，写在被除式下方后相减：(x² + 3x) - (x² + x) = 2x，最高次项 x² 已被消去，余式次数顺利下降。
- 第四步：把被除式的常数项 +2 带下来，与余下的 2x 合成 2x + 2；带项时符号一并带下，此时余式 2x + 2 的次数仍不低于除式，需要继续除。
- 第五步：再以最高次项相除得 2x ÷ x = 2，作为商的第二项，同样依据系数相除、次数相减的法则，这一轮的目标是消去一次项 2x。
- 第六步：把 2 乘回除式得 2(x + 1) = 2x + 2，与余式相减得 0，说明除式可以整除被除式，余式为 0，除法过程到此结束。
- 第七步：写出结论：商式是 x + 2，余式是 0，并用恒等式验算：(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2，与被除式完全相同，证明整个除法无误。
- 答案：(x² + 3x + 2) ÷ (x + 1) = x + 2，余数为 0。长除法的核心是除、乘、减、带四步循环：每轮先用最高次项相除求出商项，再乘回除式、相减以消去最高次项，然后带下下一项继续。验算时使用恒等式：被除式 = 除式 × 商式 + 余式，此处 (x + 1)(x + 2) 刚好还原被除式，确认答案正确。余式为 0 也表示 x = -1 是被除式的根，这个结果可以与因式定理互相印证，是检查分解是否正确的另一条路。
6常见错误 Mistakes
✗ ✗ 减法不改符号：(x²+3x) - (x²+x) = x²+3x - x² + x = 4x
✓ ✓ 减法要改全符号：= 3x - x = 2x
✗ ✗ 不够次数还继续除
✓ ✓ 余式次数小于除式就停，不要继续除！
✗ ✗ 商漏项
✓ ✓ 每次除出来的项都要写回入商里面！
✗ ✗ 有余数就当除完：(x² + 3x + 5) ÷ (x + 1) = x + 2 + 3
✓ ✓ 余式要除返以除式，写做分式：= x + 2 + 3/(x + 1)。代 x = 1 验下：原式 9 ÷ 2 = 4.5，但 x + 2 + 3 = 6，即刻知不对！
75 题快测 Quick check
Q1(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = ?
答案 Answer：x + 3
你答对吗？
Q2长除法由哪个次数开始除？
答案 Answer：最高次项
你答对吗？
Q3余式次数要点？
答案 Answer：比除式次数小
你答对吗？
Q4除完之后答案是？
答案 Answer：被除式 = 除式 × 商 + 余式
你答对吗？
Q5减的时候要记得？
答案 Answer：改全下面的符号
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 多项式除法就像数字长除法这样
- 由最高次项开始除
- 每次除完乘回除式，然后减
- 余式次数一定要小于除式
- 答案：被除式 = 除式 × 商 + 余式