线性规划：限制下的最优选择
中等把限制画成阴影区域，最优答案永远藏在角点——线性规划三步搞定生产决策。
学完呢课，你会识：
- 三步框架：设变数写限制→画可行域→角点代入目标函数。
- 最优解永远在角点——数学定理，不必逐点试。
- x≥0, y≥0 不要漏——变数是数量。
文体小知识：续不等式与线性规划——对应 DSE 核心单元：在限制下找最优解，商业与工程每天都在用的数学。
1重点摘要 Summary
把限制画成阴影区域，最优答案永远藏在角点——线性规划三步搞定生产决策。
2生字卡 Vocabulary
C
Constraint限制条件
资源或规则的不等式，例如 2x+y≤100。
F
Feasible region可行域
所有不等式重叠的阴影区域——可行方案的集合。
O
Objective function目标函数
要最大化或最小化的式子，例如利润 P=3x+2y。
C
Corner point角点
可行域的顶点——最优解必在角点。
O
Optimal solution最优解
代入目标函数后得出最大（或最小）值的角点。
S
Simultaneous inequalities联立不等式
多个不等式同时成立——画图时逐一处理。
T
Test point测试点
判断不等式画哪一边用的代入点，常用 (1,1) 或原点。
L
Linear线性
式子只有 x、y 的一次项——图像是直线。
3逐步讲解 Steps
- 步骤 1：设变数并写出限制条件线性规划的第一步永远是设变数，例如设 x 为 A 产品的数量、y 为 B 产品的数量，然后把文字题转写成不等式：「每件 A 需要 2 小时、每件 B 需要 1 小时，机器最多可用 100 小时」写成 2x + y ≤ 100。千万不要忘记 x ≥ 0 与 y ≥ 0，因为产品数量不可能是负数；漏写这两条，可行域会错误地延伸到负半轴，之后求出的角点与答案全部作废。
- 步骤 2：画直线并判断阴影方向每条不等式先当作等式画出边界直线，例如 2x + y = 100 可取 (50, 0) 与 (0, 100) 两点连线。然后用测试点判断要涂哪一边，原点是最方便的测试点：代入得 2 × 0 + 0 = 0 ≤ 100 成立，所以涂原点所在的一边；若不成立就涂另边，这个方法对 ≤ 与 ≥ 都适用。另外要留意线型：不等号包含等号时边界画实线，不包含等号时画虚线，虚线表示边界上的点不属于解。
- 步骤 3：找出可行域与角点所有不等式的阴影互相重叠的部分就是可行域，代表同时满足全部限制的所有方案。角点是可行域边界直线的交点，用联立方程求得，例如 2x + y = 100 与 x + y = 60 相减得 x = 40，代回得 y = 20，角点便是 (40, 20)。把每个角点都求出来并标记在图上，因为最优解必定在角点之中出现，漏求一个角点，答案便可能不是真正的最大值或最小值。
- 步骤 4：把角点代入目标函数把每一个角点代入目标函数，例如 P = 3x + 2y，逐一计算数值：(0, 0) 得 0，(50, 0) 得 150，(40, 20) 得 160，(0, 60) 得 120。线性规划的基本定理保证最大值或最小值必在角点取得，所以只需比较这几个数值：最大是 160，对应最优解 (40, 20)。计算时建议列表整理各角点的函数值，避免把某个数值抄错或漏算某个角点，列表也方便阅卷员跟进。
- 步骤 5：检查整数限制如果变数代表可以逐件点算的物件，例如产品的件数，最优解就必须是整数。若最佳角点的坐标不是整数，例如出现 8.5 这样的数值，就要检查可行域内最接近的整数点，重新代入目标函数比较大小。这是文凭试常见的陷阱：角点本身不合法，但相邻的整数点可能仍在可行域内，哪一个更优必须计算才知道，不能靠估计，答题时要把这个检查过程清楚写出来。
- 步骤 6：用文字写出结论计算完成后，必须用一句完整的文字回应题目，例如：「应生产 A 产品 40 件、B 产品 20 件，最大利润为 160 元。」只写坐标 (40, 20) 与数字 160 而不作说明，会失去表达分，因为数学应用题的最后一步是向题目的情境交代答案。结论中要把变数名称、数量与目标函数的最大值全部讲清楚，让阅卷员不必猜测，这也是完整解题的标志。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
示范：工厂生产桌与椅。每张桌赚 $300，用 4 小时与 2 单位木料；每张椅赚 $200，用 2 小时与 2 单位木料。工时上限 40 小时，木料上限 24 单位，求最大利润。
- 第一步：设变数并列限制：设桌 x 张、椅 y 张，工时限制为 4x + 2y ≤ 40，木料限制为 2x + 2y ≤ 24，再加上 x ≥ 0 与 y ≥ 0，四条限制缺一不可。
- 第二步：画边界线找角点：4x + 2y = 40 通过 (10, 0) 与 (0, 20)；2x + 2y = 24 通过 (12, 0) 与 (0, 12)。两线交点用相减求得：2x = 16，即 x = 8、y = 4，角点是 (8, 4)。
- 第三步：列出全部角点并代入利润 P = 300x + 200y：可行域角点有 (0, 0)、(10, 0)、(8, 4)、(0, 12)，数值分别是 0、3000、3200、2400，其中以 (8, 4) 的 3200 最大。
- 第四步：验证与结论：把 (8, 4) 代回限制，工时 4 × 8 + 2 × 4 = 40 正好用尽，木料 2 × 8 + 2 × 4 = 24 也正好用尽，两种资源都没有浪费，符合最优解的特征，因此应生产桌 8 张、椅 4 张。
- 答案：结论：工厂应生产桌 8 张、椅 4 张，最大利润为 $3200。解题完整使用了线性规划的四步：设变数与限制、画可行域、求角点、代入目标函数比较。值得留意的是，最优角点 (8, 4) 令工时与木料两项资源同时用尽，这是资源限制绷紧的典型讯号；若某项资源在最优解仍有剩余，通常表示该限制并不影响当前的最优决策。这个观察可以作为检查答案合理性的旁证，也能帮助判断计算过程有没有出错。
6常见错误 Mistakes
✗ 忘记 x≥0, y≥0
✓ 变数是产品数量——负数无意义。没有这两条，可行域会无限大。
✗ 测试点选错边
✓ 用原点代入不等式：成立就画原点那边，不成立就画另边——画完抽一个可行点验证。
✗ 只答角点座标
✓ 要代入目标函数求值＋文字结论——两样都齐才完整。
✗ 整数题目交非整数答案
✓ 生产件数必须整数——最优角点非整数时，检查最近的可行整数点。
75 题快测 Quick check
Q1线性规划的最优解在哪里？
答案 Answer：可行域的角点（顶点）。
你答对吗？
Q2判断不等式画哪一边的方法？
答案 Answer：用测试点（如原点）代入：成立就画该侧。
你答对吗？
Q3可行域是什么？
答案 Answer：所有不等式的阴影重叠区域——可行方案的集合。
你答对吗？
Q4两条边界直线的交点如何求？
答案 Answer：解联立方程。
你答对吗？
Q5计完角点后还要做什么？
答案 Answer：代入目标函数比较，再用文字写结论。
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 三步框架：设变数写限制→画可行域→角点代入目标函数。
- 最优解永远在角点——数学定理，不必逐点试。
- x≥0, y≥0 不要漏——变数是数量。
- 整数限制题要检查最近整数点。
- 文字结论不可少：答题回应题目先完整。