一元二次不等式
基础学会解一元二次不等式，用开口向上/向下法。
学完呢课，你会识：
- 解不等式先解方程找根
- 看二次项正负判断开口方向
- 开口向上：> 0 两边，< 0 中间
读呢课前，你应该识： 一元二次方程
1重点摘要 Summary
学会解一元二次不等式，用开口向上/向下法。
2生字卡 Vocabulary
I
Inequality不等式
有 > < ≤ ≥ 的式子，例如 x + 2 > 5。
S
Solution解集
所有满足不等式的 x 值。
G
Greater than大于
大过，符号 >。
L
Less than小于
小于，符号 <。
R
Roots根
等于 0 那两个点，将数线分成三段。
O
Opening up开口向上
二次项是正数，抛物线开口向上。
I
Interval区间
两个数之间的范围。
N
Number line数线
一条有刻度的线，用来表示范围。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：先解对应方程找根解一元二次不等式，先暂时把不等号当作等号，写出对应的一元二次方程并解出两个根。这两个根是数线上的临界值，因为二次式的值只在穿过根的位置才会由正变负或由负变正。求根可用因式分解或求根公式，方法与解方程完全一样。易错位是没有先化成标准式就急于求根，导致系数读错。
- 第二步：判断开口方向接着观察二次项系数 a 的正负，判断抛物线的开口方向：a 是正数时开口向上，形状像两端翘起的碗；a 是负数时开口向下，整个倒转。开口方向决定了大于 0 与小于 0 的解分别落在哪一段，所以要先判断。若已化成标准式，a 就是 x² 项的系数。易错位是把系数符号看错，例如把 -x² 当成 x²。
- 第三步：把两根画在数线上把刚才求出的两个根画在数线上，数线就被分成三段：两根之左、两根之间与两根之右。因为二次式的正负只在根的位置改变，所以每一段内的正负号是固定的，只需在每段选一个测试点代入检验即可。画端点时要看不等号是否严格：用大于或小于时端点画空心圈，用大于等于时画实心点。易错位是把两根位置画反。
- 第四步：开口向上时的判断开口向上时，抛物线两端向上无限延伸，中间部分低于 x 轴。因此二次式大于 0 的解在两根之外的两侧区间，小于 0 的解在两根之间。例如 x² + 5x + 6 > 0 的解就是 x 小于较小的根或 x 大于较大的根。选测试点检验时，取 0 或其他简单整数最快。易错位是把两侧与中间记反，解集就会颠倒。
- 第五步：开口向下时的判断开口向下时情况刚好相反：抛物线中间高于 x 轴，两端向下延伸。因此二次式大于 0 的解在两根之间，小于 0 的解在两根之外的两侧。做题时不要硬背结论，先画一个简单的草图，再按图像与 x 轴的相对位置读出解，这样两种情况都不会混淆。易错位是照抄开口向上的结论，忘记随开口方向调整。
- 第六步：写出解集最后把所得区间写成解集，并决定端点是否包含：不等号是大于或小于时，端点不包含，写 x < a 或 x > b；大于等于或小于等于时，端点包含，要用大于等于号与小于等于号。若解是两侧区间，要用或字连接两部分；中间区间则直接写成一段。易错位是解答大于等于型时忘记包含端点，或把两侧区间错写成一个区间。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
示例：解一元二次不等式 x² + 5x + 6 > 0。
- 第一步：先解对应方程 x² + 5x + 6 = 0，用十字相乘得 (x + 2)(x + 3) = 0，所以两根是 x = -2 与 x = -3，因为 6 可拆成 2 与 3，而 2 + 3 恰为 5。
- 第二步：看二次项系数，x² 的系数是 +1，是正数，所以抛物线开口向上，依据是开口方向由二次项系数的正负决定。
- 第三步：把 -3 与 -2 画在数线上，数线分成三段，每段各选一个测试点，例如 -4、-2.5 与 0，依据是每段内二次式的正负号固定。
- 第四步：代入检验各段符号，x = -4 时左边等于 16 - 20 + 6 = 2，是正数；x = -2.5 时等于 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25，是负数，可见中段为负、两侧为正。
- 第五步：开口向上且要求大于 0，所以解在两侧区间，写成 x < -3 或 x > -2；因为不等号是严格的大于，端点 -3 与 -2 不包含在解集内。
- 答案：x < -3 或 x > -2。检验显示两侧区间代入后左边为正，中间区间代入后左边为负，加上抛物线开口向上，所以大于 0 的部分正好是两侧；又因为不等号是严格大于，端点不包含，解集必须用两个区间以或字连接。
6常见错误 Mistakes
✗ ✗ 不记得看开口方向，一律中间
✓ ✓ 开口向上和向下是相反的！
✗ ✗ > 和 < 弄错
✓ ✓ 开口向上：> 0 是两边，< 0 是中间！
✗ ✗ 除负数不转符号
✓ ✓ 不等式两边乘除负数，符号要反转！
✗ ✗ 有等号都漏端点：x² - x - 6 ≥ 0 解成 x < -2 或 x > 3
✓ ✓ ≥ / ≤ 要包含端点：x ≤ -2 或 x ≥ 3；纯 > / < 才是不包！写解集前望一望有没有等号。
75 题快测 Quick check
Q1x² + 5x + 6 < 0 的解集是？
答案 Answer：-3 < x < -2
你答对吗？
Q2二次项是正数，开口？
答案 Answer：向上
你答对吗？
Q3开口向上，> 0 是？
答案 Answer：两边
你答对吗？
Q4不等式两边乘负数要？
答案 Answer：反转符号
你答对吗？
Q5解集用什么表示？
答案 Answer：区间
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 解不等式先解方程找根
- 看二次项正负判断开口方向
- 开口向上：> 0 两边，< 0 中间
- 开口向下：> 0 中间，< 0 两边
- 乘除负数要反转符号