因式分解

1重点摘要 Summary

将多项式拆成乘积形式，学提取公因式和十字相乘法。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：先提取公因式因式分解的第一步永远是观察各项有没有公因式，包括数字的公因数与字母的公因式，一经发现便先全部提出。例如 2x² + 4x 中每一项都有 2 与 x，提出后得 2x(x + 2)。先提公因式的好处是让余下的式子变得简单，令后面的十字相乘更容易；漏提公因式是常见错误，例如把 2x² + 4x 直接当成 x² + 2x 来处理，得到的答案就不完整，会被扣分。
2. 第二步：认识二次三项式二次三项式是指 x² + ax + b 的形式，共有三项，最高次数是二次。因式分解的目标是把它写成两个一次式的积，即 (x + m)(x + n)。展开 (x + m)(x + n) 可得 x² + (m + n)x + mn，比较系数便知道 m + n = a 以及 mn = b。理解这个对应关系之后，十字相乘就不再是背口诀，而是有根据的推理，遇到任何二次三项式都能冷静处理。
3. 第三步：十字相乘法的原理十字相乘法的任务是寻找两个数 m 与 n，使它们的积等于常数项 b，并且它们的和等于一次项系数 a。两个条件缺一不可：积对应展开后的 mn 项，和对应展开后的 (m + n)x 项。解题时先把两个条件写清楚，例如分解 x² + 5x + 6 时写出积为 6、和为 5，目标明确之后才开始试数，可以避免毫无方向的乱试，节省时间。
4. 第四步：有系统地试数列出所有相乘等于 b 的整数对，再逐一检查哪一对的和等于 a。以 b = 6 为例，整数对有 (1, 6) 与 (2, 3)，它们的和分别是 7 与 5，因此选 2 与 3。注意当 b 是负数时，两数必定一正一负；当 b 是正数而 a 是负数时，两数都是负数。有系统地按顺序列出所有数对，就不会重复或遗漏，这是找数最快而不出错的方法。
5. 第五步：写出分解结果找到合适的 m 与 n 之后，把原式写成 (x + m)(x + n)。以 x² + 5x + 6 为例，因为 2 与 3 符合条件，所以 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。书写时两个括号的次序可以对调，因为乘法满足交换律；但每一项的正负号不可以写错，若 m 与 n 都是负数，括号内要写成 (x - 2)(x - 3) 的形式，符号与数值要一同写对。
6. 第六步：展开验算分解完成后，把答案重新展开一次，确认能还原为原式才算成功。例如 (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，与原式完全相同。验算只需要十几秒，却能拦截绝大部分的找数错误与符号错误；若展开后与原式不符，通常是一次项系数对不上，应回到第四步重新检查两数的和，不要勉强交卷，更不要把错的答案留下。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 因式分解就是展开相反
• 先提取公因式，再拆二次三项式
• 十字相乘法：找两数相乘 = b，相加 = a
• 常数项是正数而一次项是负数，两个数都要负
• 分解完一定要展开回验算