一元二次方程
基础学会解一元二次方程，用因式分解法和公式法。
学完呢课，你会识：
- 一元二次方程最高次数是 2
- 先整理成 ax² + bx + c = 0
- 可以因式分解就用因式分解法
读呢课前，你应该识： 因式分解
1重点摘要 Summary
学会解一元二次方程，用因式分解法和公式法。
2生字卡 Vocabulary
Q
Quadratic equation一元二次方程
最高次数是 2 的方程，例如 x² + 5x + 6 = 0。
R
Root根
方程的答案，令方程等于 0 的 x 值。
S
Solve解方程
找出方程的所有根。
F
Factorisation method因式分解法
将方程左边分解因式，然后每个因式等于 0 解。
Q
Quadratic formula二次方程公式
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，是通用解方程方法。
D
Discriminant判别式
b² - 4ac，用来判断有多少个实根。
T
Two roots两个根
二次方程通常有两个答案。
Z
Zero product零乘积性质
如果 A × B = 0，这样 A = 0 或者 B = 0。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：写成标准式解一元二次方程的第一步，是把方程整理成标准式 ax² + bx + c = 0，其中 a 不等于 0。做法是把所有项移到等号左边，使右边为 0，并按 x 的次数由高至低排列与合并同类项。这样做是因为只有认清 a、b、c 三个系数，之后的因式分解与公式法才能正确代入。易错位是移项时忘记变号。
- 第二步：尝试因式分解第二步是尝试因式分解，先观察左边能否拆成两个一次式的乘积。常用方法是十字相乘：当 a = 1 时，找两个数，其乘积等于 c 而和等于 b。能够分解就应优先使用此法，因为它比公式法更快，而且答案不易出错。易错位是分解后忘记展开检查，应展开一次确认中间项与原式相同。
- 第三步：零乘积性质第三步应用零乘积性质：若两个数或两个式子的乘积等于 0，则其中至少一个必为 0，即 A × B = 0 时必有 A = 0 或 B = 0。这个性质是把乘积式变成两条一元一次方程的关键。使用前提是方程右边必须已经化为 0，若右边不是 0，此性质不成立。易错位是直接对两边开方或随意约去因式，导致漏根。
- 第四步：分开解两条方程第四步把每个因式分别等于 0，解两条一元一次方程，得到两个根。例如 (x + 2)(x + 3) = 0 就分别解 x + 2 = 0 与 x + 3 = 0，得出 x = -2 或 x = -3。一元二次方程一般有两个实数根，两条方程都要解，不可只解一条。易错位是移项时忘记变号。
- 第五步：不能分解时用公式若因式分解行不通，例如系数较大或根是无理数时，就用求根公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，它对任何一元二次方程都适用。代入前先确认方程已是标准式，并准确读出 a、b、c 的正负号，根的性质由判别式 b² - 4ac 决定。易错位是 b 或 c 为负数时代入忘记加括号。
- 第六步：验算答案最后把两个根分别代入原方程检验，确认左边算出来的值确实等于 0。验算能即时发现因式分解错误或移项变号的失误，在考试中是避免无谓失分的低成本步骤。验算时应代入原来的方程，而不是分解后的中间式，否则检查不到最初的错误。若代入后不等于 0，就要由标准式开始逐步重新检查。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
示例：解一元二次方程 x² + 5x + 6 = 0。
- 第一步：方程已是标准式，确认 a = 1、b = 5、c = 6，因为系数的正负必须在代入任何方法之前认清。
- 第二步：因式分解左边，依据十字相乘法找两个乘积为 6 且和为 5 的数，得出 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
- 第三步：应用零乘积性质，由 (x + 2)(x + 3) = 0 得出 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，因为乘积为 0 时至少一个因式为 0。
- 第四步：分别解两条一次方程，把常数移到右边得 x = -2 与 x = -3，依据是等式两边减去相等的数后仍然相等。
- 第五步：验算，把 x = -2 代入原方程左边，得 (-2)² + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0，依据是解必须使原方程成立。
- 答案：x = -2 或 x = -3。把两个值分别代入原方程，左边都等于 0，验算成立；由于判别式为正，方程有两个相异实数根，解集就是 x = -2 与 x = -3，两个答案都要写出。
6常见错误 Mistakes
✗ ✗ 忘记负号：(x+2)(x+3) = 0 → x = 2, x = 3
✓ ✓ x+2 = 0 → x = -2！要移项变号！
✗ ✗ 两个根写漏一个
✓ ✓ 二次方程通常有两个根，不要漏！
✗ ✗ 未整理成 = 0 就直接解
✓ ✓ 一定要先将方程整理成 = 0 先解！
✗ ✗ 公式法负 b 平方变负：x² - 4x + 3 = 0，b² = (-4)² = -16
✓ ✓ 负数平方是正：b = -4，b² = (+16)，判别式 = 16 - 4(1)(3) = 4 先对。代入公式前最好先写清楚 a、b、c 各是什么！
75 题快测 Quick check
Q1(x-1)(x-3) = 0 的根是？
答案 Answer：x = 1 或 x = 3
你答对吗？
Q2二次方程标准式是？
答案 Answer：ax² + bx + c = 0
你答对吗？
Q3零乘积性质是？
答案 Answer：A × B = 0 → A=0 或 B=0
你答对吗？
Q4x² - 4 = 0 的根是？
答案 Answer：x = 2 或 x = -2
你答对吗？
Q5判别式是？
答案 Answer：b² - 4ac
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 一元二次方程最高次数是 2
- 先整理成 ax² + bx + c = 0
- 可以因式分解就用因式分解法
- 零乘积：A × B = 0 → A=0 或 B=0
- 分解不到就用二次方程公式