等差與等比數列

1重點摘要 Summary

學會等差數列和等比數列，會找第 n 項和總和。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：認識等差數列等差數列是指從第二項起，每一項與前一項的差都等於同一個固定數 d 的數列，d 稱為公差。例如 1, 3, 5, 7, 9 的公差是 2。判斷一個數列是否等差，要用後項減前項逐對檢查，全部相同才算等差。公差可以是負數，例如 10, 7, 4, 1 的公差是 -3，此時數列遞減；公差為 0 時數列各項相同，這些都是合法的等差數列。
2. 第二步：等差數列的通項公式等差數列第 n 項的公式是 Tn = a + (n - 1)d，其中 a 是首項，d 是公差。公式的意思是首項再加上 (n - 1) 個公差，因為由第一項走到第 n 項只跨了 n - 1 步。例如首項 2、公差 3 的數列，第 10 項是 2 + 9 × 3 = 29。最常見的錯誤是把 (n - 1) 寫成 n，代入數字之前，先確認題目求的是第幾項，並把 a 與 d 清楚列出。
3. 第三步：等差數列的求和公式等差數列前 n 項之和的公式是 Sn = n2 × [2a + (n - 1)d]；當已知首項與末項時，也可以用 Sn = n2 × (首項 + 末項)。兩條公式其實等價，選擇時看題目給了哪些資料：給 a 與 d 用第一條，給首末兩項用第二條。公式的由來是把數列首尾配對，每對的和都相同，而配對總數是 n2，理解這個來源，公式便容易記憶也不易用錯。
4. 第四步：認識等比數列等比數列是指從第二項起，每一項與前一項的比都等於同一個固定數 r 的數列，r 稱為公比。例如 1, 2, 4, 8, 16 的公比是 2。判斷時用後項除以前項逐對檢查。等比數列各項同號時 r 為正；若 r 是負數，數列會正負交替，例如 1, -2, 4, -8。注意公比不可以是 0，否則由第二項起全部變成 0，比的概念失去意義，不再是等比數列。
5. 第五步：等比數列的通項公式等比數列第 n 項的公式是 Tn = a × r^(n-1)，其中 a 是首項，r 是公比。與等差公式一樣，指數是 n - 1 而不是 n，因為首項本身還沒有乘過任何公差或公比。例如首項 3、公比 2 的數列，第 5 項是 3 × 2^4 = 48。書寫時留意運算次序：先算 r^(n-1)，再乘以 a，指數較大時建議分步寫出，避免一次過計算而出錯。
6. 第六步：等比數列的求和公式等比數列前 n 項之和的公式是 Sn = a × (r^n - 1) / (r - 1)，條件是 r 不等於 1；當 r = 1 時所有項都等於 a，總和直接是 Sn = na。使用公式時先把 r 與 n 代清楚，特別是 r 為分數或負數時要加括號。這條公式來自錯位相減的技巧：把 Sn 與 r·Sn 相減，中間大多數項互相抵消，餘下的式子整理後便得到公式，理解來源有助正確運用。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 等差：每項加固定 d
• 等比：每項乘固定 r
• 等差第 n 項：a + (n-1)d
• 等差總和：n2 × (首項 + 末項)
• 等比第 n 項：a × r^(n-1)