等差与等比数列

1重点摘要 Summary

学会等差数列和等比数列，会找第 n 项和总和。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：认识等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个固定数 d 的数列，d 称为公差。例如 1, 3, 5, 7, 9 的公差是 2。判断一个数列是否等差，要用后项减前项逐对检查，全部相同才算等差。公差可以是负数，例如 10, 7, 4, 1 的公差是 -3，此时数列递减；公差为 0 时数列各项相同，这些都是合法的等差数列。
2. 第二步：等差数列的通项公式等差数列第 n 项的公式是 Tn = a + (n - 1)d，其中 a 是首项，d 是公差。公式的意思是首项再加上 (n - 1) 个公差，因为由第一项走到第 n 项只跨了 n - 1 步。例如首项 2、公差 3 的数列，第 10 项是 2 + 9 × 3 = 29。最常见的错误是把 (n - 1) 写成 n，代入数字之前，先确认题目求的是第几项，并把 a 与 d 清楚列出。
3. 第三步：等差数列的求和公式等差数列前 n 项之和的公式是 Sn = n2 × [2a + (n - 1)d]；当已知首项与末项时，也可以用 Sn = n2 × (首项 + 末项)。两条公式其实等价，选择时看题目给了哪些资料：给 a 与 d 用第一条，给首末两项用第二条。公式的由来是把数列首尾配对，每对的和都相同，而配对总数是 n2，理解这个来源，公式便容易记忆也不易用错。
4. 第四步：认识等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个固定数 r 的数列，r 称为公比。例如 1, 2, 4, 8, 16 的公比是 2。判断时用后项除以前项逐对检查。等比数列各项同号时 r 为正；若 r 是负数，数列会正负交替，例如 1, -2, 4, -8。注意公比不可以是 0，否则由第二项起全部变成 0，比的概念失去意义，不再是等比数列。
5. 第五步：等比数列的通项公式等比数列第 n 项的公式是 Tn = a × r^(n-1)，其中 a 是首项，r 是公比。与等差公式一样，指数是 n - 1 而不是 n，因为首项本身还没有乘过任何公差或公比。例如首项 3、公比 2 的数列，第 5 项是 3 × 2^4 = 48。书写时留意运算次序：先算 r^(n-1)，再乘以 a，指数较大时建议分步写出，避免一次过计算而出错。
6. 第六步：等比数列的求和公式等比数列前 n 项之和的公式是 Sn = a × (r^n - 1) / (r - 1)，条件是 r 不等于 1；当 r = 1 时所有项都等于 a，总和直接是 Sn = na。使用公式时先把 r 与 n 代清楚，特别是 r 为分数或负数时要加括号。这条公式来自错位相减的技巧：把 Sn 与 r·Sn 相减，中间大多数项互相抵消，余下的式子整理后便得到公式，理解来源有助正确运用。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 等差：每项加固定 d
• 等比：每项乘固定 r
• 等差第 n 项：a + (n-1)d
• 等差总和：n2 × (首项 + 末项)
• 等比第 n 项：a × r^(n-1)