离差：方差同标准差

1重点摘要 Summary

学习量度数据的分散程度：方差与标准差。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：离差的意义平均数只能描述一组数据的中心位置，不能显示数据的分散程度；量度分散程度的指标称为离差，方差与标准差是最常用的两种。例如甲乙两班的平均分同为 70 分，甲班分数集中在 65 至 75 之间，乙班却由 30 分到 100 分都有，两班的整齐程度截然不同。为什么需要离差？因为只有平均数时，这两班看起来毫无分别。常见错法是只汇报平均数便比较两组数据，忽略分散程度这一半资讯。
2. 第二步：方差的定义方差是把每个数据与平均数之差的平方相加，再除以数据个数，即 Var = Σ(x − 平均数)² ÷ n。为什么要平方？因为偏差有正有负，直接相加会互相抵消，例如偏差 −2 与 2 相加得 0，分散程度便被掩盖；平方后全部变为正数，大小才能累积。为什么最后除以 n？这是把平方后的总量化为平均，方便不同组之间比较。常见错法是漏了平方便求和，得出的数永远是 0 或接近 0，一见结果为 0 应立即察觉出错。
3. 第三步：计算偏差以数据 2、4、6 为例示范完整流程：第一步求平均数，(2 + 4 + 6) ÷ 3 = 4；第二步求每个数据的偏差，即各数减去平均数：2 − 4 = −2，4 − 4 = 0，6 − 4 = 2。为什么要先求平均数？因为方差量度的正是各数偏离平均的程度，平均数是整个计算的基准点。常见错法是拿数据减去最大值或第一个数，而不是减平均数，基准一错之后全部作废；计算偏差后可顺手检查各偏差之和是否为 0。
4. 第四步：平方与求方差把上一步的偏差逐一平方：(−2)² = 4，0² = 0，2² = 4；再相加得 4 + 0 + 4 = 8；最后除以数据个数 3，得方差 = 8 ÷ 3 ≈ 2.67。为什么负偏差平方后变正？因为平方消去符号，(−2)² 与 2² 同为 4，方向不影响大小。常见错法是平方时处理负号出错，误写 (−2)² = −4；另一常见错法是除以 n − 1，那是统计学另一场合的用法，中学教材按除以 n 计算，应按课程要求。
5. 第五步：由方差到标准差标准差是方差的平方根：标准差 = √方差。上例中方差为 83 ≈ 2.67，故标准差 = √(83) ≈ 1.63。为什么要开方？因为平方的缘故，方差的单位是原数据单位的平方，例如数据以公分计，方差便是平方公分，开方后标准差的单位回到公分，才能与原数据直接比较。标准差越小，数据越集中于平均数附近。常见错法是答题时把方差与标准差混为一谈，两者数值不同，须分清楚题目要求哪一个。
6. 第六步：实际应用比较两组数据时，标准差是判断稳定程度的关键：A 组标准差小，表示数据紧贴平均数，表现稳定；B 组标准差大，表示数据忽高忽低，表现起伏。例如两位学生多次测验的平均分同为 80，甲的标准差是 3，乙的标准差是 12，可见甲的成绩稳定，乙的成绩时好时坏。为什么平均数相同还要比较标准差？因为稳定性是平均数无法反映的资讯。常见错法是单凭一次最高分断定优劣，应同时看平均数与标准差两个指标。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 方差 = 每个数和平均数差的平方，加起，除回个数
• 标准差 = √方差
• 标准差越小，数据越集中，越稳定
• 标准差越大，数据越分散，越飘忽
• 用来比较两组数据的稳定性