特殊角三角比

1重點摘要 Summary

30°、45°、60° 這三個角的 sin、cos、tan 是固定數值，要背熟。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：為什麼要背特殊角30°、45°、60° 三個角的 sin、cos、tan 是固定數值，考試時直接使用，不必每次按計算機，既快又準，而且答案是準確值而不是近似值。例子：求 sin 30° 時，直接寫 12，比計算機的 0.5 更嚴謹；某些證明題必須用準確值才可以繼續推算。常見錯誤是把三個角的數值互相調換，例如把 sin 30° 寫成 √32；熟記表格加上定期默寫，便能避免。
2. 第二步：45° 怎樣來45° 的數值來自等腰直角三角形：兩條直角邊一樣長，設各為 1，由畢氏定理，斜邊 = √(1² + 1²) = √2。於是 sin 45° = 對邊 ÷ 斜邊 = 1/√2 = √22，cos 45° 也是 √22，tan 45° = 1。理解來源之後便不用死記：等腰直角三角形兩邊相等，所以 sin 與 cos 必然相同。常見錯誤是分母有理化時出錯，1/√2 上下同乘 √2 得 √22，不要寫成 2/√2。
3. 第三步：30° 和 60° 怎樣來30° 和 60° 來自等邊三角形切一半。設等邊三角形一邊長 2，沿高切開成兩個直角三角形：斜邊 2，短邊 1，由畢氏定理，另邊 = √(2² − 1²) = √3。於是 sin 30° = 12，cos 30° = √32，tan 30° = 1/√3；而 sin 60° = √32，cos 60° = 12，tan 60° = √3。留意 30° 與 60° 的 sin 和 cos 互相調換。常見錯誤是把兩角的數值調換；畫出圖形幫助記憶，便可以分清。
4. 第四步：記住個表完整的表格：30° 一行是 sin = 12、cos = √32、tan = 1/√3；45° 一行是 sin = √22、cos = √22、tan = 1；60° 一行是 sin = √32、cos = 12、tan = √3。默寫時先寫三行 sin，再由 cos 是 sin 的倒序推出 cos 行，tan 行用 sin 除以 cos 逐格驗證。考試前把表格默寫兩次，已經足夠穩固。常見錯誤是把 tan 30° 寫成 √3，其實 √3 是 tan 60° 的值。
5. 第五步：怎樣快速記記憶法：sin 的三個值由 30° 到 60° 是 √12、√22、√32，即根號內 1、2、3 依次遞增；cos 則倒序，是 √32、√22、√12；tan = sin ÷ cos，需要時現場計算。這個方法把九個數值縮成三句話，還可以即場驗證，例如 tan 45° = (√22) ÷ (√22) = 1，與表格一致。常見錯誤是把 cos 的次序記成與 sin 相同；記住「cos 倒序」便可以。
6. 第六步：怎樣用見到 30°、45°、60° 便直接代入準確值。例子：直角三角形中，30° 角的對邊是 5，求斜邊。由 sin 30° = 對邊 ÷ 斜邊，得 12 = 5 ÷ 斜邊，所以斜邊 = 5 ÷ (12) = 10。步驟是：先選對的三角比（對邊與斜邊用 sin），寫出定義式，再代入準確值解方程。常見錯誤是選錯三角比，例如用了 tan；畫一個小圖標明對邊、鄰邊和斜邊，便不會選錯。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 三個特殊角：30°、45°、60°
• 背熟 sin、cos、tan 數值
• sin 由小到大：12, √22, √32
• cos 倒轉：√32, √22, 12
• tan = sin ÷ cos