正弦定理

1重點摘要 Summary

學另一條萬用公式，任何三角形都用得，特別是知角和對邊的時候。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：正弦定理的用途正弦定理與餘弦定理一樣，適用於任何三角形，不論直角、銳角或鈍角三角形均可使用。它的特點是專門處理「已知角與對邊」的題目：只要題目給出一組角和對邊，再加多一個角或一條邊，就可用正弦定理求出其餘的邊或角。做題前先畫草圖，把已知角與對應的邊標清楚，是避免出錯的第一步。
2. 第二步：公式與對應關係正弦定理的公式是 a/sin A = b/sin B = c/sin C，其中 a 是角 A 的對邊，b 是角 B 的對邊，c 是角 C 的對邊。也就是說，每一條邊除以它對面角度的正弦值，三個比值完全相等。使用時必須邊配對角：a 對 A、b 對 B、c 對 C，一旦配錯，整條算式便會全部錯誤，這是最常見的失分位置。
3. 第三步：怎樣用來求邊已知一個角和它的對邊，再加另一個角，就能求出第二條邊。例如已知 a=10、角 A=30°、角 B=45°，求 b：先列出比例 10/sin30° = b/sin45°，兩個已知量放在左邊，未知量 b 在右邊。這種「兩角一邊」的題目，三角形三個角其實已可確定（第三角 = 180° − 30° − 45° = 105°），正弦定理是最直接的解法。
4. 第四步：計算示範續上例：10/sin30° = b/sin45°。先查值：sin30° = 0.5，sin45° = √22 ≈ 0.707。代入得 100.5 = b/(√22)，即 20 = 2b/√2，所以 b = 20 × √22 = 10√2 ≈ 14.1。驗算方向：b 比 a 長，因為角 B（45°）大於角 A（30°），邊長隨對角增大而增大，結果與三角形性質一致，答案合理。
5. 第五步：怎樣用來求角已知兩條邊和其中一條邊的對角，可反過來求另一個角。例如已知 a=10、b≈14.1、角 A=30°，求角 B：把公式寫成 sin B = b × sin A / a = 14.1 × 0.5 ÷ 10 = 0.705，再用計算機的正弦反函數求得 B ≈ 44.8°。留意這類題目有時出現兩個可能的角（鈍角解），作答時要按題目情境和三角形內角和判斷取捨。
6. 第六步：正弦定理與餘弦定理的選擇選擇定理的口訣：已知「兩角和任一邊」或「兩邊和其中一邊的對角」，用正弦定理；已知「兩邊和夾角」求第三邊，或已知「三邊」求角，用餘弦定理。簡單說，正弦定理要有「一組完整的角與對邊」才能起步，餘弦定理則不需要。選錯定理不但浪費時間，更會得出無法繼續的算式，所以審題時務必先分辨已知條件屬於哪一類。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 任何三角形都用得
• a/sin A = b/sin B = c/sin C
• 已知角和對邊就用它
• 對邊配對角，不要配錯
• 同餘弦定理互補