特殊角三角比

1重点摘要 Summary

30°、45°、60° 这三个角的 sin、cos、tan 是固定数值，要背熟。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：为什么要背特殊角30°、45°、60° 三个角的 sin、cos、tan 是固定数值，考试时直接使用，不必每次按计算机，既快又准，而且答案是准确值而不是近似值。例子：求 sin 30° 时，直接写 12，比计算机的 0.5 更严谨；某些证明题必须用准确值才可以继续推算。常见错误是把三个角的数值互相调换，例如把 sin 30° 写成 √32；熟记表格加上定期默写，便能避免。
2. 第二步：45° 怎样来45° 的数值来自等腰直角三角形：两条直角边一样长，设各为 1，由毕氏定理，斜边 = √(1² + 1²) = √2。于是 sin 45° = 对边 ÷ 斜边 = 1/√2 = √22，cos 45° 也是 √22，tan 45° = 1。理解来源之后便不用死记：等腰直角三角形两边相等，所以 sin 与 cos 必然相同。常见错误是分母有理化时出错，1/√2 上下同乘 √2 得 √22，不要写成 2/√2。
3. 第三步：30° 和 60° 怎样来30° 和 60° 来自等边三角形切一半。设等边三角形一边长 2，沿高切开成两个直角三角形：斜边 2，短边 1，由毕氏定理，另边 = √(2² − 1²) = √3。于是 sin 30° = 12，cos 30° = √32，tan 30° = 1/√3；而 sin 60° = √32，cos 60° = 12，tan 60° = √3。留意 30° 与 60° 的 sin 和 cos 互相调换。常见错误是把两角的数值调换；画出图形帮助记忆，便可以分清。
4. 第四步：记住个表完整的表格：30° 一行是 sin = 12、cos = √32、tan = 1/√3；45° 一行是 sin = √22、cos = √22、tan = 1；60° 一行是 sin = √32、cos = 12、tan = √3。默写时先写三行 sin，再由 cos 是 sin 的倒序推出 cos 行，tan 行用 sin 除以 cos 逐格验证。考试前把表格默写两次，已经足够稳固。常见错误是把 tan 30° 写成 √3，其实 √3 是 tan 60° 的值。
5. 第五步：怎样快速记记忆法：sin 的三个值由 30° 到 60° 是 √12、√22、√32，即根号内 1、2、3 依次递增；cos 则倒序，是 √32、√22、√12；tan = sin ÷ cos，需要时现场计算。这个方法把九个数值缩成三句话，还可以即场验证，例如 tan 45° = (√22) ÷ (√22) = 1，与表格一致。常见错误是把 cos 的次序记成与 sin 相同；记住「cos 倒序」便可以。
6. 第六步：怎样用见到 30°、45°、60° 便直接代入准确值。例子：直角三角形中，30° 角的对边是 5，求斜边。由 sin 30° = 对边 ÷ 斜边，得 12 = 5 ÷ 斜边，所以斜边 = 5 ÷ (12) = 10。步骤是：先选对的三角比（对边与斜边用 sin），写出定义式，再代入准确值解方程。常见错误是选错三角比，例如用了 tan；画一个小图标明对边、邻边和斜边，便不会选错。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 三个特殊角：30°、45°、60°
• 背熟 sin、cos、tan 数值
• sin 由小到大：12, √22, √32
• cos 倒转：√32, √22, 12
• tan = sin ÷ cos