三角比：sin、cos、tan

1重點摘要 Summary

在直角三角形裡面，sin θ = 對邊/斜邊，cos θ = 鄰邊/斜邊，tan θ = 對邊/鄰邊。用 SOH-CAH-TOA 記。懂得分「對邊」和「鄰邊」是關鍵 — 由參考角出發，對著的是對邊，旁邊（不是斜邊）的是鄰邊。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 三角比的概念與 SOHCAHTOA三角比描述直角三角形中邊長之間的比例關係，共有三個：正弦 sin、餘弦 cos、正切 tan。記憶口訣 SOHCAHTOA：SOH 表示 sin θ = 對邊 ÷ 斜邊；CAH 表示 cos θ = 鄰邊 ÷ 斜邊；TOA 表示 tan θ = 對邊 ÷ 鄰邊。這些比例只與角的大小有關，與三角形的大小無關：把三角形放大兩倍，三條邊同時加倍，比值不變。這正是三角比能夠測量高塔高度、河流寬度等不能直接量度距離的原因。
2. 第一步：認出斜邊斜邊是直角三角形中最長的一邊，永遠對著直角，與選擇哪個銳角無關。例如一個直角三角形中標記角 θ，不論 θ 在左下還是右下，斜邊都是同一條。尋找斜邊的口訣是：先找直角，直角對面那條便是斜邊。常見錯誤是圖形旋轉之後把鄰邊誤認為斜邊，或在複雜圖形中漏看直角；養成先用筆圈出直角、再標明斜邊的習慣，可以避免此類失誤。
3. 第二步：辨認對邊與鄰邊對邊與鄰邊則取決於所選的角：對邊是正對著角 θ 的那條直角邊，鄰邊是與角 θ 相鄰的另一條直角邊。例如角 θ 位於左下角時，右側那條豎直邊正對著 θ，是對邊；底部那條水平邊貼著 θ，是鄰邊。若改看另一個銳角，對邊與鄰邊便會互換。因此答題時必須先寫明「就角 θ 而言」，再逐一標明三邊，圖形上可以直接用 O、A、H 三個字母標記，避免混亂。
4. 用 SOH 求 sin已知對邊與斜邊時用正弦：sin θ = 對邊 ÷ 斜邊。例如對邊 = 3、斜邊 = 5，則 sin θ = 3 ÷ 5 = 0.6。反過來，已知角度與斜邊求對邊時同樣用此式：對邊 = 斜邊 × sin θ。常見錯誤是把對邊與鄰邊調轉，實際算出的是 cos 的值；避免方法是寫式之前先在圖上標明 O、A、H，再按口訣選比。使用計算機時必須先確認處於度數（DEG）模式，否則所有答案都會錯誤。
5. 用 CAH 求 cos已知鄰邊與斜邊時用餘弦：cos θ = 鄰邊 ÷ 斜邊。例如鄰邊 = 4、斜邊 = 5，則 cos θ = 4 ÷ 5 = 0.8。反過來，已知角度與斜邊時，鄰邊 = 斜邊 × cos θ；已知角度與鄰邊時，斜邊 = 鄰邊 ÷ cos θ。記憶時留意：銳角範圍內 cos 的值必定在 0 與 1 之間，若算出大於 1 的值，必定是邊選錯或除數弄反，應立即覆查，不要勉強寫下不可能的答案。
6. 用 TOA 求 tan 與選比原則已知對邊與鄰邊時用正切：tan θ = 對邊 ÷ 鄰邊。例如對邊 = 3、鄰邊 = 4，則 tan θ = 3 ÷ 4 = 0.75。三個比之中，tan 可以大於 1。實際解題時先問自己：題目給了哪兩條邊，再選用恰好用上這兩條邊、只留下一個未知數的比；若兩條直角邊齊備而求斜邊，也可以先用畢氏定理。選比的原則是「用齊已知、只留一個未知」，選對了計算自然順利。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• SOH：sin = 對 / 斜
• CAH：cos = 鄰 / 斜
• TOA：tan = 對 / 鄰
• 斜邊永遠是最長那條
• 對邊和鄰邊要看角 θ 在哪裡