餘弦定理

1重點摘要 Summary

學一條萬用公式，任何三角形都用得，不一定要直角。我會一步步教你點用。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 為什麼需要餘弦定理此前所學的 sin、cos、tan 只適用於直角三角形，必須存在一個 90° 角才能使用。但現實中的三角形大多不是直角三角形，例如一塊三角形的土地，三個角可能都不是 90°；航海定位與土地測量遇到的三角形亦然。餘弦定理適用於任意三角形，不要求任何角是直角，正好補足這個缺口。可以說，餘弦定理是畢氏定理的推廣版本，掌握了它，任何三角形的角度與邊長問題都有辦法處理。
2. 公式與記憶方法餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab cos C，其中 c 是欲求的邊，a 與 b 是另外兩邊，C 是 a 與 b 的夾角。記憶要點：欲求邊的平方 = 另外兩邊平方之和 − 兩邊相乘再乘夾角餘弦的兩倍。最容易出錯的是中間的減號與 2ab 的係數；建議把公式默寫三次，並緊記「夾角」是兩條已知邊之間的那個角，若誤用了對面的角，公式便會失效，答案全錯。
3. 情況一：已知兩邊夾角求第三邊（SAS）當已知兩條邊與它們的夾角（SAS），用餘弦定理直接求第三邊。例如已知 a = 3、b = 4、夾角 C = 60°，求 c：代入公式得 c² = 3² + 4² − 2 × 3 × 4 × cos 60°。此時整條式只有一個未知數 c，直接計算即可。若已知的是兩邊與一個非夾角，便不能直接套用公式，需要先用正弦定理等高中方法；初中階段的題目一般都會給出夾角，按公式代入即可。
4. 情況二：已知三邊求角（SSS）當三條邊全部已知（SSS）而需求角度，把公式移項成 cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab)。例如已知三邊 3、4、5，求最大角 C（對著最長邊 5 的角）：cos C = (3² + 4² − 5²) ÷ (2 × 3 × 4) = (9 + 16 − 25) ÷ 24 = 0，故 C = 90°，可見 3-4-5 是直角三角形。計算時分子的次序必須是「兩條較短邊的平方和減去欲求角對邊的平方」；若求的是別的角，相應調換各邊的位置。
5. 完整計算示範例：a = 3、b = 4、夾角 C = 60°，求 c。第一步，寫出公式 c² = a² + b² − 2ab cos C；第二步，代入數值得 c² = 9 + 16 − 2 × 3 × 4 × cos 60°；第三步，查得 cos 60° = 0.5，故 c² = 25 − 24 × 0.5 = 25 − 12 = 13；第四步，開方得 c = √13 ≈ 3.6。留意先平方後開方的次序，並且在中間過程保留較多位數，到最後一步才四捨五入至兩位小數，可以減少累積誤差。
6. 與畢氏定理的關係畢氏定理其實是餘弦定理的特例：當角 C = 90° 時，cos 90° = 0，公式退化為 c² = a² + b² − 0 = a² + b²，正是畢氏定理。這說明餘弦定理更為通用：在鈍角三角形中，夾角大於 90°，cos C 為負數，c² 反而大於 a² + b²，與「鈍角對最長邊」的事實吻合。檢查答案時可以運用這個規律：算出的最長邊應對著最大的角，若兩者不符，即表示計算過程有錯，必須重查。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 任何三角形都用得，不用是直角
• c² = a² + b² − 2ab cos C
• SAS 求邊、SSS 求角
• 畢氏定理是它的特例
• 計完記住開方