仰角與俯角

1重點摘要 Summary

學兩個實際應用的角度名詞，學完就可以解決測量距離同高度的問題。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：為什麼要學這兩個角日常生活經常遇到無法直接量度的長度：想知道一棵樹的高度，總不能爬到樹頂去拉尺；想知道河對岸的距離，也不能直接橫越過去量。三角學正好解決這類問題：只要量出一個角度和一段已知的水平距離，就能間接算出高度或距離。仰角與俯角就是這種間接測量的入門工具，在工程、導航和測量工作中十分常用，學會了它，許多看來無法量度的長度都有了辦法。
2. 第二步：仰角是什麼仰角（angle of elevation）指視線向上時與水平線的夾角。觀察者的眼睛先沿水平線望出去，再抬高視線去看高處的物體，兩線之間的角就是仰角。例如站在地面上仰望大廈頂樓，視線與水平線之間的夾角便是仰角。畫圖時切記：仰角必定由水平線量起，而不是由地面或鉛垂線量起，水平線是量角的起點，這也是最容易被忽略而畫錯的地方。
3. 第三步：俯角是什麼俯角（angle of depression）則是視線向下時與水平線的夾角。觀察者處於高處，例如站在大廈天台，先沿水平線望出去，再低下視線去看地面的車輛，視線與水平線之間的夾角就是俯角。俯角同樣由水平線量起，只是方向向下。判斷方法很直接：物體高於眼睛就是仰角，物體低於眼睛就是俯角，關鍵是先畫出水平線，再把視線與它比較，位置高低一目了然。
4. 第四步：兩個角的關係仰角與俯角有一個重要關係：兩者永遠相等。原因是兩條水平線互相平行，而觀察者與目標之間的視線是同一條直線，因此甲處的仰角與乙處的俯角構成一對內錯角，內錯角必定相等。也就是說，你在地面仰望天台上的人時的仰角，等於對方低頭望你時的俯角。應用題中經常考這一點：只要知道其中一個角，另一個即可直接寫出，不必再計算。
5. 第五步：怎樣解題解題有固定流程：第一，按題意畫出直角三角形，標明水平線、視線與角度；第二，分清楚三角形中哪條是對邊、鄰邊和斜邊；第三，列出已知的角度與邊長，明確要求的目標；第四，選擇合適的三角比——已知水平距離求高度時通常用 tan，因為 tanθ = 對邊 ÷ 鄰邊，剛好涉及高度與距離；第五，代入數字計算，最後驗算答案是否合理，例如高度不應大過斜邊。
6. 第六步：例子講解例：站在離樹 10 米的水平距離處，望樹頂的仰角是 45°，求樹高。先畫直角三角形：鄰邊 = 10 米，角度 = 45°，對邊 = 樹高。已知鄰邊求對邊，用 tan：tan45° = 對邊 ÷ 鄰邊 = 樹高 ÷ 10，而 tan45° = 1，所以樹高 = 10 × 1 = 10 米。驗算：45° 時對邊與鄰邊相等，10 米對 10 米，答案合理，這類數字設計在測驗中也很常見。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 仰角：向上望
• 俯角：向下望
• 兩個角永遠相等
• 先畫直角三角形先好計
• 通常用 tan 來計