三角恆等式

1重點摘要 Summary

學幾條永遠對的三角公式，幫你簡化複雜的三角式子。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 恆等式的意義三角恆等式是對所有角 θ 都成立的等式，不論 θ 是 30°、45° 還是 120°，等號兩邊永遠相等。這與一般方程不同：方程只對某些特定的 x 成立，恆等式則無條件成立。正因如此，恆等式可以在任何式子中直接代入使用，用來化簡複雜的三角式，或證明兩個式子恆等。初中階段必須掌握的恆等式只有兩條，其餘的公式日後都可以由這兩條推導出來。
2. 恆等式一：sin²θ + cos²θ = 1這是最重要的一條恆等式：任何角度之下，sin²θ 與 cos²θ 之和恆等於 1。其根源是畢氏定理：在直角三角形中，sin θ = 對邊 ÷ 斜邊，cos θ = 鄰邊 ÷ 斜邊，兩者平方相加得 (對邊² + 鄰邊²) ÷ 斜邊²，由畢氏定理分子等於斜邊²，故結果為 1。例如 sin 30° = 0.5、cos 30° ≈ 0.866，0.5² + 0.866² ≈ 0.25 + 0.75 = 1。由此還可推出兩個常用變形：sin²θ = 1 − cos²θ 與 cos²θ = 1 − sin²θ。
3. 恆等式二：tan θ = sin θ ÷ cos θ第二條恆等式是 tan θ = sin θ ÷ cos θ，它是正切定義的自然延伸：tan θ = 對邊 ÷ 鄰邊，而 sin θ ÷ cos θ = (對邊 ÷ 斜邊) ÷ (鄰邊 ÷ 斜邊)，斜邊在相除過程中互相抵消，剩下對邊 ÷ 鄰邊，兩者一致。因此見到 tan θ 可以隨時改寫為 sin θ ÷ cos θ，反之亦然。例如 tan 30° = 0.5 ÷ 0.866 ≈ 0.577，與直接查表所得的 tan 30° 相符，驗證了這條恆等式。
4. 用恆等式化簡式子化簡的策略是「先找熟悉的部分，逐塊代入」。例如化簡 sin²θ + cos²θ + tan θ × cos θ：第一塊 sin²θ + cos²θ 直接以 1 代入；第二塊 tan θ × cos θ 先以 sin θ ÷ cos θ 代替 tan θ，得 (sin θ ÷ cos θ) × cos θ，cos θ 約去後剩下 sin θ；全式便是 1 + sin θ。化簡的目標是把式子變得越短越好，完成後再檢查是否還有可以用恆等式代入的部分，做到不能再化為止。
5. 恆等式證明題的做法證明題要求展示等號兩邊恆等。通行做法是由較複雜的一邊出發，逐步以恆等式代入和代數化簡，直到與另邊完全相同；不可以兩邊同時動工，也不可以把原式當作已知代入。例如證明 tan θ × cos θ = sin θ：只處理左邊，tan θ × cos θ = (sin θ ÷ cos θ) × cos θ = sin θ，左一邊化成右一邊，得證。書寫時每一步只做一個動作，並在關鍵步驟旁註明所用的是哪一條恆等式。
6. 記憶策略與應試提示需要牢記的只有兩條：sin²θ + cos²θ = 1 與 tan θ = sin θ ÷ cos θ。遇到題目時先掃視有無平方和結構，或 tan 與 sin、cos 混雜的結構，這兩種訊號直接指向相應的恆等式。常見錯誤包括把 sin²θ 誤寫成 sin θ²（後者表示先平方 θ 再取正弦），以及在除法中忽略 cos θ 不能為 0 的限制。考試中證明題的分數在於步驟清晰，跳步會被扣分；答題前把兩條公式寫在草稿頂端，化簡途中隨時取用，可減少臨場遺忘。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 兩條最基本：sin²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ ÷ cosθ
• 見到 sin² + cos² 直接換做 1
• 見到 tanθ 可以換做 sin ÷ cos
• 證明題由一邊開始化簡