幾何證明基礎

1重點摘要 Summary

怎樣寫幾何證明：已知、求、證明三步曲。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 證明三步曲幾何證明有固定格式，分三部分書寫。第一部分「已知（Given）」：抄下題目提供的全部條件，如角度、邊長、平行關係；第二部分「求證（To prove）」：明確寫出要證的結論；第三部分「證明（Proof）」：由已知出發，一步一步推理，直到得出結論。每一個等號、每一個推論，右邊都必須註明理由（引用的定理或已知條件）。格式不只是規矩：把已知與求證寫清楚，思路便有了起點和終點；每步寫理由，檢查時才能逐步核對，出錯時也容易找出錯在哪一步。
2. 2. 常用定理 1：三角形內角和三角形三個內角的和永遠等於 180°，這是幾何證明中最常用的定理。應用例子：已知三角形兩個角是 50° 和 60°，設第三個角為 x，則 x + 50° + 60° = 180°（三角形內角和），解得 x = 70°。等邊三角形三個角相等，每個角 = 180° ÷ 3 = 60°；等腰三角形的兩個底角相等，例如頂角 40° 時，每個底角 = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。書寫理由時寫「三角形內角和」；注意這條定理只適用於三角形，四邊形內角和是 360°，兩者切勿混用。
3. 3. 常用定理 2：對頂角兩條直線相交時，相對的角（對頂角）相等。例如兩線相交形成四個角，其中一個是 65°，則它對面那個角也是 65°（對頂角）；相鄰的兩個角合共 180°（直線上的鄰角），所以另外兩個角各是 115°。對頂角定理的好處是「不用計算即得相等」：只要圖中出現兩線相交的 X 形，寫上「對頂角」便可引用。常見錯法是把「鄰角」當「對頂角」：相鄰的角互補（加起 180°），相對的角才相等；看圖時先認清哪些角共用頂點且位置相對。
4. 4. 常用定理 3：平行線性質兩條平行線被第三條線（截線）所截，產生三組特殊關係的角。對應角相等（F 字形）：兩個角在截線同側、分別位於兩平行線的相同位置；內錯角相等（Z 字形）：兩個角在截線兩側、夾在兩平行線之間；同旁內角互補（C 字形，加起 180°）：兩個角在截線同側、夾在兩平行線之間。記憶方法是認字母：圖中見 F 想對應角，見 Z 想內錯角，見 C 想同旁內角。書寫理由時註明「兩線平行，對應角相等」等完整句子，並確認題目確已給出平行條件才可引用。
5. 5. 更多常用理由除三大定理外，證明中還常用到這些理由。直角等於 90°：圖中標了直角符號，理由寫「直角」。平角等於 180°：幾個角拼成一條直線，理由寫「直線上的鄰角」。公共邊或公共角：兩個三角形共用一條邊時，理由寫「公共邊」，這在全等證明中極常用。等腰三角形底角相等：兩邊相等則兩底角相等。同圓半徑相等：同一個圓的半徑等長。養成「理由用完整語句」的習慣，例如寫「∠BAC = ∠ACB（等腰三角形底角）」而不是只寫「底角」，卷面清楚，閱卷員不會誤會。
6. 6. 寫證明示範完整示範：已知三角形兩個角分別是 50° 和 60°，求證第三個角是 70°。
   
   已知：∠A = 50°，∠B = 60°。
   求證：∠C = 70°。
   證明：
   設 ∠C = x。
   x + 50° + 60° = 180°（三角形內角和）
   x = 180° − 110° = 70°
   即 ∠C = 70°。證畢。
   
   留意三個細節：設未知數令思路具體；每行右側有理由；最後一句清楚回應「求證」的內容。初學時按這個骨架逐字寫，熟練後自然加快。寫完檢查：每一步是否只用了已知的或已證的東西，有沒有跳步。
7. 7. 常見錯誤總結幾何證明有四大扣分位。第一，不寫理由：每一步都必須註明根據，漏寫理由等於推理無據，閱卷員會扣分。第二，跳步：由「兩角相等」直接跳到結論，中間缺少一兩步推理；證明是寫給讀者看的，必須一步一步寫。第三，用錯定理：題目未說平行便引用平行線性質，或把四邊形當三角形用內角和 180°；引用前先確認條件存在。第四，結論不明確：證完不寫「即 ∠C = 70°」，閱卷員不知道你是否完成證明。對策：書寫時每行自查「這一步的理由是什麼」，最後必須有一句呼應求證。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 證明三步曲：已知、求證、證明
• 每一步都要寫理由
• 三角形內角和 = 180°
• 對頂角相等
• 平行線性質：對應角、內錯角、同旁內角